aplicacion de teorema de Green

como puedo resolver este ejercicio cuando me dan una trayectoria cerrada simple y otra complicadaaplicacion de teorema de Green

Novato Enviada el 13 de mayo de 2018 a Integrales dobles,   Teoremas integrales.
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2 Respuesta(s)

Hola

Propones un problema muy interesante.

Tengo dos formas de explicarte cómo se resuelve.

¿En clase te han explicado dos teoremas de Green, uno para regiones simplemente conexas (“sin agujeros”) y otro para regiones multiplemente conexas (“con agujeros”)? ¿O sólo te han explicado uno (en ese caso será el Green “normal”, el de regiones simplemente conexas.

Según lo que me respondas te resuelvo el problema de una forma u otra. Hazlo dándole a COMENTAR  en mi respuesta.

Saludos

 

Maestro Respuesta escrita el 13 de mayo de 2018.
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Solución

Bueno, como no respondías a mi pregunta, he decidido resolverte el problema utilizando el teorema de Green para regiones no simplemente conexas (osea, multiplemente conexas, alias “con agujero”).

El teorema dice esto:

RE: aplicacion de teorema de Green

entendiendo que todas las curvas, tanto la curva externa como las que definen los agujeros, se recorren en sentido positivo (el que deja la región a la izquierda).

En tu ejercicio las curvas tienen otros nombres. La curva externa se llama C1 y la que define el agujero con forma de elipse se llama C2 así que se cumplirá:

RE: aplicacion de teorema de Green

Calculamos las parciales del campo vectorial:

RE: aplicacion de teorema de Green

y por lo tanto tiene que cumplirse que

RE: aplicacion de teorema de Green

La unión de las dos curvas es precisamente lo que en el enunciado llaman C, la curva sobre la cuál tenemos que integrar, y por otro lado supongo que sabes que la integral doble de un 1 sobre una región A nos da el área de A, así que

RE: aplicacion de teorema de Green

La región con forma de rombo no es más que un cuadrado girado, así que su área es el lado al cuadrado. Puedes deducir del dibujo el valor del lado del cuadrado y con ello el área.

Si no entiendes algo me dices.

Saludos



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 13 de mayo de 2018.
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