Ayuda con este problema de volumenes.
Se funde una esfera solida de acero de 3 cm de radio. Una porción se toma y se construye un cono, cuyo radio es 2/9 de su altura. Con la porción restante se construye un cubo. Si el volumen del cubo es el doble del volumen de cono, determine el radio del cono y el lado del cubo.
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Solución
Hola Sofia
Este es el típico problema que se resuelve creando una ecuación o sistema de ecuaciones a partir de los datos del enunciado.
Primero hacemos una lectura atenta de todo el enunciado para ver de qué va y luego vamos leyendo con atención cada párrafo y vamos convirtiendo lo que dicen en números o ecuaciones.
Al hacer la primera lectura vemos que el problema va de la relación entre el volumen de una esfera, un cono y un cubo.
Ahora vamos a ir poco a poco.
«Se funde una esfera solida de acero de 3 cm de radio…»
Eso quiere decir que partimos de una esfera de volumen 4/3 * π * (3)3 = 36π cm3
«Una porción se toma y se construye un cono, cuyo radio es 2/9 de su altura»
Osea, a partir de la esfera, utilizando un trozo de ella que desconocemos, crean un cono. ¿Qué trozo de esfera han cogido? No lo sabemos. Vamos a llamarle «x».
«x» es entonces un trozo del volumen original de la esfera. Con esos «x» cm3 vamos a crear un cono.
Dicen además que la altura y el radio del cono están relacionados. Sabes que
Volumen cono = 1/3 * π *R2 *h
y nos dicen que R=2/9 * h y por lo tanto h = 9/2 *R (prefiero poner a la altura en función del radio y no al revés porque el radio es una de las incógnitas del problema)
por lo que
x = 1/3 * π *R2 * 9/2 *R
Ahí ya tenemos una ecuación con dos incógnitas. La «x» y la «h».
Sigamos leyendo. Ahora nos dicen que «Con la porción restante se construye un cubo.»
Osea. Partíamos de un volumen de 36π al que le hemos quitado «x» y por lo tanto quedan (36π-x) cm3 con los que vamos a construir un cubo. No sabemos qué lado tiene ese cubo, esa es otra de las incógnitas del problema, así que vamos a llamarle «L».
Tenemos entonces que
36π-x = L3
Finalmente nos dicen que «Si el volumen del cubo es el doble del volumen de cono, determine el radio del cono y el lado del cubo.»
Volumen del cubo = 2 * Volumen cubo
por lo tanto
36π-x = 2 * x
y eso nos crea una ecuación con sólo una incógnita que puedes resolver fácilmente.
Te dejo que acabes tú el problema. Sigue estos pasos:
1º resuelves 36π-x = 2 * x para hallar la «x»
2º sustituyes la «x» obtenida en 36π-x = L3 y obtienes la L
3º sustituyes la «x» en x = 1/3 * π *R2 * 9/2 *R y obtienes la R.
Fácil !!!!
Espero que te sirva. Si tienes dudas pon un comentario en mi respuesta.
Ciao !
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