Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Me pueden ayudar con estos ejemplos? gracias!!

Obtén la integral de las siguientes funciones trigonométricas

Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

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Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

 

Novato Enviada el 29 de enero de 2019 a Primitivas.
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1 Respuesta(s)

Hola Brenda.

Para resolver estas integrales, nos apoyaremos primero en algunas identidades trigonométricas comunes:

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Cabe destacar que, la mayoría de veces, pueden existir distintos métodos para poder resolver una integral, así que lo que te daré son algunas pistas útiles que reducirán los problemas en integrales sencillas y conocidas.

Integral #1: En este caso, se puede utilizar la identidad (1), lo cual dejará la integral en una separable:

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Integral #2: Si utilizas la identidad (2), y luego realizas una sustitución, sale fácilmente:

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Integral #3: En esta, se puede utilizar integración por partes dos veces.
Primera vez:  Tomamos u=sin2(x), tal que du=2sin(x)cos(x)dx, y dv=sin(x)dx tal que v=-cos(x)

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Segunda vez (la integral de la derecha): Tomamos u=cos2(x) y dv=sin(x)dx.

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas


Tal que:

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Te dejo que hagas la sustitución y termines de resolver. No te olvides del +C, aquí lo he despreciado.

Nada más para aclararte, en las respuestas que contienen funciones trigonométricas encontrarás muchas respuestas diferentes; sin embargo, son equivalentes, debido a que de una manera u otra se pueden convertir por identidades trigonométricas de una a otra. La respuesta varía según el método que utilices; además, si quieres una respuesta en específico, puedes o utilizar otra estrategia o transformar con identidades la respuesta que ya tienes.

Integral #4: Esta a simple vista parece intimidar; sin embargo, es más sencilla que la anterior a mi parecer. Basta aplicar (3), integración por partes y sustitución donde corresponda:

Por partes: Podes utilizar u=sec2(2x) y dv=sec2(2x)dx. Derivas e integras, para obtener finalmente:

v=(1/2) tan(2x)
du=4tan(2x)sec2(2x)dx

Aplicamos y:

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Ahora, la integral de la derecha no hace falta resolverla por partes, solamente basta aplicar (3) nuevamente:

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Por lo tanto, solamente basta sustituir y despejar, hasta llegar a:

RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

Aquí, ya es trivial la respuesta (cuando dividas “C” por tres, simplemente podes reescribir “C” en lugar de “C/3”, o bien otra constante “A” si se te confunde; esto es posible ya que son constantes cuyo valor es arbitrario). Terminamos!

Si necesitas saber de dónde salen las identidades trigonométricas a partir de otras más sencillas, o no entiendes algo, me avisas y edito la respuesta o te ayudo. Estas mismas integrales se pueden resolver por otra propiedad llamada “reducción de integrales”, por si alguna vez te lo topas, sin embargo tiene un fundamento un poco más complejo que integrales por partes.

Espero que haya sido de ayuda!
Saludos.

Estudiante Respuesta escrita el 29 de enero de 2019.
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