Base de la intersección de dos subespacios: ¿el que se elimina con Gauss es de la intersección?

  Resuelta

Qué tal?

Estamos debatiendo varios compañeros sobre cómo hallar una base de la intersección de dos subespacios.

A mi me suena haber oído decir a mi profesor en clase, varias veces además, que se puede crear una matriz con los vectores de las bases de cada uno de los subespacios (como si buscáramos una base de la suma) y entonces al hacer Gauss el vector que se elimina es un vector de la intersección. Si la dimensión es 1 entonces ese vector se puede utilizar como base. Finito. Rápido y limpio.

Pero aquí mi compañero Matías dice que no, que no tiene por qué ser cierto, pero hemos probado con varios casos (llevamos media hora intentándolo y ya nos da la risa 😂) y no hemos sido capaces de encontrar un contraejemplo.

Nos quedamos con la duda.

¿Alguien puede confirmar o desmentir si eso es cierto?

Gracias

Estudiante Enviada el 7 de junio de 2019 a Espacios Vectoriales.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola Fernando.

Eso de que “el que se elimina” es de la intersección es una leyenda urbana.

Aquí tienes un contraejemplo:

F = < (-1,0,1) , (1,1,0) >

G = < (-1,1,0) , (0,1,-1) >

Si construyes una matriz con los cuatro vectores —para saber cuántos de ellos son LI y crear una base de F+G — te queda esto:

RE: Base de la intersección de dos subespacios: ¿el que se elimina con Gauss es de la intersección?

La dim(F+G)=3. Por lo tanto por Grassman la dim(F∩G)=1. Hasta aquí perfecto.

El vector que se ha eliminado es el cuarto, el (0,1,-1) pero es fácil ver que ese vector NO pertenece a F. El propio Gauss nos lo dice porque el -2 que nos ha quedado al final nos indica que ese vector no se puede generar con los dos de arriba y por lo tanto no pertenece a F. Si no está en F no está en la intersección —para eso debería pertenecer a ambos subespacios—.

Una leyenda urbana, y peligrosa, porque suena muy bien, pero es sólo eso, una leyenda urbana.

Saludos



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 8 de junio de 2019.

Perfecto !!!  Ya lo decía yo…. 😉

fernandooros Estudiante el 8 de junio de 2019.
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