Calcular la Pendiente Máxima de una función Logística

Dada la función logistica en formato canonico:

P(t) = (P0*K*e^(r*t))/(P0+(K*(e^(-r*t)-1)))

donde K, P0 ,r,t son Numeros Reales y positivos, K,  P0, t son numeros enteros, r es decimal (entre 0 y 1).

P0  >= 1

K = limite de Carga  de la función. (asintota horizontal a la que la funcion se aproxima en el limite.

r = coeficiente de sensibilidad de la curva

t = tiempo en periodos

Necesito encontrar el valor de t que hace la dP/dt maxima en forma de ecuación para un r,K,P0 dados.

gracias!

Novato Enviada el 16 de enero de 2019 a Ecuaciones diferenciales 1er orden.
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3 Respuesta(s)

Hola:

La función logística puesta en forma canónica es la siguiente:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

En esta forma, la función tiende a 0 en menos infinito, al límite de carga en más infinito y r es la tasa de crecimiento de la población. La pendiente máxima para esta función se alcanza en el 0. Esto se puede comprobar haciendo la derivada de la derivada e igualándola a cero. Después, sustituyes ese valor para ver cuál es la pendiente máxima en función de tus parámetros.

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Ahora para saber qué pendiente máxima tiene tu función solo hay que transformarla en una función logística canónica. La parte más rara es la de introducir un logaritmo para poder poner una cosa dentro de una exponencial, pero de esa manera sacas lo que sería el equivalente al t=0 en la versión canónica:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Es decir, en los términos anteriores tu función tiene

  • Capacidad de carga k
  • Tasa de crecimiento r
  • Origen de coordenadas, o t_0 en:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Por tanto, ese es el tiempo en el que se alcanza la pendiente máxima. Su valor solo depende de la capacidad de carga y de la tasa de crecimiento, con lo que será rk/4 también.

Un saludo!

Ayudante Respuesta escrita el 17 de enero de 2019.
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Hola rmgMath,

Muchas gracias por tu aportación. he comprobado las expresiones en Excel y generadas las curvas correspondientes a: ecuación inicial (tanto la natural (le he llamado A3) +-infinito, como la dL/dt y la d”L/dt y los valores cumplen con lo que esperaba.

Asimismo, he comprobado que la expresión final se puede ‘dar la vuelta’ y obtener enl valor r, para un t dado lo que me es de extrema utilidad.

Subo algunas imagenes para su disfrute intelectual.

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Las curvas las he denominado: A la que está desplazada (Po*K en el numerador) y A3 la que me propone como natural (Solo K en el numerador), las derivadas son A’ y A” y A3′ y A3″ respectivamente. (Espero expresarme correctamente).

  • En A” tengo una pequeña diferencia si lo calculo desde los datos de la tabla o si lo calculo como ecuación (lineas rojas y azules del tercer grafico).
  • El grafico A3″ curva de comprobacion calculada desde los datos cruza t en el periodo 1, (debo haber calculado algo erroneamente.)
  • Algunas curiosidades para mi (no matematico) los maximos de A’ y A3” se distancias en ((r*K)/4)*1/2 ¿Tengo curiosidad en saber porque?. Lo mismo ocurrirá con las curvas.

Preguntas,

  • ¿como se obtiene A  desde A3. K= Capacidad de Carga.?

Uso de la curva:

Mi tesis es la aplicacion de la curva de crecimiento logistico a la proyección de una venta de un producto de temporada, (tipo news vendor, donde sabemos que hay un tope de venta (unas unidades compradas en un tiempo de venta limitado -temporada- y que los compradores actuando de forma aleatoria lo irán consumiendo hasta que lo comiencen a agotar en el mercado.

He abstraido el caso de unas bacterias que se alimentan y crecen en base a un alimento disponible hasta que dejan de crecer al agotarse el mismo. Las bacterias son los compradores y el alimento el producto. En su opinión es un comportamiento de la curva es aplicable a este tipo de casos?.

Gracias una vez mas!. Y saludos.

Alfonso

 

 

Novato Respuesta escrita el 18 de enero de 2019.
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Hola de nuevo:

Siento haber tardado tanto en responder, he estado de vacaciones un mes y he desconectado bastante… Sobre las discrepancias que mencionas en las gráficas la verdad es que no te puedo decir mucho, más que nada porque se deberán a detalles muy específicos de las fórmulas que hayas usado, cómo las hayas representado etc.

Respecto a cómo obtener la versión basada en P_0, la que denominas A, a partir de la forma canónica, es más sencillo que hacerlo a la inversa. En primer lugar, como el tiempo inicial en la versión canónica es cero, tienes que:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Esto tiene lógica porque tal y como está definida la función canónica, de manera simétrica respecto al eje y y entre 0 y K, en el punto medio la población es precisamente la mitad de K. Si sustituyes estos valores en la fórmula canónica:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Por último, respecto a si esta función puede servir para modelar la compra de productos no lo tengo muy claro. Ten en cuenta que la clave de la aparición de exponenciales proviene de la suposición de que el ratio de crecimiento total es proporcional a la propia función. El caso más sencillo es el crecimiento de una población sin competición y sin presas: el crecimiento del número de individuos viene dado por una constante multiplicada por el propio número de individuos:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

que tiene como solución:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Tiene sentido que aparezca aquí la exponencial, ya que si piensas en unas bacterias que se reproducen, si la primera genera dos, y luego cada una genera dos y así sucesivamente, la población aumenta de manera exponencial, como potencias de dos. El caso de la función logística, al menos en su origen como modelo de poblaciones, es que es la solución a la siguiente ecuación diferencial:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Esta ecuación dice que, a medida que aumenta la población, como el ecosistema solo puede soportar K individuos, el ratio de crecimiento disminuye hasta que, cuando y=K, se vuelve 0 y la población se estabiliza en K. Todo esto lo digo porque no veo que el caso de los compradores sea análogo a las bacterias en el sentido de que, la gente que compra no contribuye a “la reproducción de los compradores”, es decir, el ratio de aumento del número de compradores no parece depender directamente del número de compradores que haya. Falta ese comportamiento exponencial que sí se manifiesta en la reproducción de seres vivos y que hace que la función logística se use para modelarlos. De todas maneras, es solo una elucubración, a decir verdad no sé si se adecuará a la realidad, con qué grado de precisión, etc.

¡Un saludo!

 

Ayudante Respuesta escrita el 20 de febrero de 2019.
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