Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

Hola:

Quizás estoy equivocado, pero me parece que el método de los discos es el que se utiliza para volúmenes de revolución en torno al eje x, mientras que el de los casquetes cilíndricos se utiliza para volúmenes de revolución alrededor del eje y. Surge de manera natural usar uno u otro porque estás considerando que la función es f(x), con lo cual «controlas» tu función a través del eje x. Si giras alrededor de este eje, para un valor de x determinado te sale un disco:

Mientras que si giras alrededor del eje y, te salen casquetes cilíndricos para cada valor de x:

Si intentas aplicar el método de los casquetes a una función que rota alrededor del eje x tendrás que hacerlo integrando respecto a y, es decir, cambiando la variable de la función. Pero hay dos problemas:

• El volumen que obtendrías no sería la que buscas. Fíjate en el siguiente dibujo en el área sombreada. Tendrías que calcular el volumen total del cilindro que se produce al rotar alrededor del eje x y luego restar la obtenida.

• No puedes poner la función en función de y porque no es invertible: a algunos valores de y les corresponden dos valores de x. Por ejemplo, en el siguiente caso, para el valor de y que aparece dibujado, tendrías dos cilindros.

Quizás se podría modificar el método de los cilindros para adecuarlo al caso, pero en principio yo utilizaría el de los discos. Además, el volumen que pones es el mismo que me sale a mí.

Un saludo.

Intente resolver así, pero supongo que la forma en la que estoy intentando plantear los siguiente, es incorrecto:

Esta es la forma de calcular el volumen:

Y este mi forma de resolverlo, que obviamente está mal, supongo debería hacerlo en términos de Y, pero incluso despejar la Y no lo veo sencillo.