Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

  Resuelta

Hola, me ayudan a calcular el siguiente volumen usando cascarones cilíndricos?

Un tanque en el ala de un avión de motor de reacción tiene la forma de un sólido de revolución y generado al girar la región acotada por la gráfica Y = (1/8)X2 (raíz(2-x)), y el eje X (0 <=  X <= 2) alrededor del eje X, donde X y Y son medidos en metros. 

La gráfica debe girar alrededor del eje X, pero tengo problemas para poner la integral en términos de Y para así poder calcular el volumen.

Ya lo hice por el método de sólidos de revolución, y V = Pi/30, pero por cascarones cilíndricos no puedo resolverlo.

 

Adjunto la imagen de la gráfica en 2D y el Solido en 3D.

Gracias por su ayuda!!

Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

Novato Enviada el 6 de marzo de 2019 a Integrales definidas.
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2 Respuesta(s)

Solución

Hola:

Quizás estoy equivocado, pero me parece que el método de los discos es el que se utiliza para volúmenes de revolución en torno al eje x, mientras que el de los casquetes cilíndricos se utiliza para volúmenes de revolución alrededor del eje y. Surge de manera natural usar uno u otro porque estás considerando que la función es f(x), con lo cual “controlas” tu función a través del eje x. Si giras alrededor de este eje, para un valor de x determinado te sale un disco:

RE: Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

Mientras que si giras alrededor del eje y, te salen casquetes cilíndricos para cada valor de x:

RE: Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

Si intentas aplicar el método de los casquetes a una función que rota alrededor del eje x tendrás que hacerlo integrando respecto a y, es decir, cambiando la variable de la función. Pero hay dos problemas:

  • El volumen que obtendrías no sería la que buscas. Fíjate en el siguiente dibujo en el área sombreada. Tendrías que calcular el volumen total del cilindro que se produce al rotar alrededor del eje x y luego restar la obtenida.

RE: Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

  • No puedes poner la función en función de y porque no es invertible: a algunos valores de y les corresponden dos valores de x. Por ejemplo, en el siguiente caso, para el valor de y que aparece dibujado, tendrías dos cilindros.

RE: Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

Quizás se podría modificar el método de los cilindros para adecuarlo al caso, pero en principio yo utilizaría el de los discos. Además, el volumen que pones es el mismo que me sale a mí.

Un saludo.

Ayudante Respuesta escrita el 7 de marzo de 2019.

Muchas gracias!!

Said Novato el 7 de marzo de 2019.
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Intente resolver así, pero supongo que la forma en la que estoy intentando plantear los siguiente, es incorrecto:

Esta es la forma de calcular el volumen:

RE: Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

Y este mi forma de resolverlo, que obviamente está mal, supongo debería hacerlo en términos de Y, pero incluso despejar la Y no lo veo sencillo.

RE: Calculo de volumen por Cascarones (casquillos) Cilíndricos

Novato Respuesta escrita el 6 de marzo de 2019.
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