Como demostrar la siguiente proposición sobre endomorfismos

Hola! Me podrias ayudar a demostrar el siguente enunciado:

Sea E un k-espacio vectorial de dimensión n >0 finita. Sean f, g dos endomorfismos k de E tal que f compuesto con g es igual a g compuesto con f (fg=gf).

Demostrar que todo polinomio p(x) de K[x], se cumple que ker(p(f)) es un subespacio vectorial invariante de g

Novato Enviada el 18 de mayo de 2019 a Aplicaciones Lineales.
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1 Respuesta(s)

Hola:

Para demostrar esto tienes que tener muy claras dos cosas:

  • Qué significa aplicar un polinomio a un endomorfismo: se considera que elevar un endomorfismo a una potencia n es igual a componerlo consigo mismo n veces; además, multiplicar por una constante es multiplicar la imagen de todo vector por esa constante y sumar significa sumar la imagen de los dos endomorfismos. Por tanto, tiene sentido sustituirlo en un polinomio y el polinomio de un endomorfismo es un nuevo endomorfismo.
  • Un espacio invariante por un endomorfismo es aquel cuya imagen por ese endomorfismo está contenida en sí mismo.

La clave está en que la relación de conmutación se extiende a todas las potencias de f, ya que puedes ir “pasando la g al otro lado paso a paso”:

RE: Como demostrar la siguiente proposición sobre endomorfismos

Podemos expresar un polinomio cualquiera de la siguiente manera:

RE: Como demostrar la siguiente proposición sobre endomorfismos

Y lo que nos piden es ver que si un vector pertenece al núcleo de este endomorfismo, aplicando g se mantiene en este núcleo:

RE: Como demostrar la siguiente proposición sobre endomorfismos

Si aplicas el polinomio p(f) a g(v) y usas la relación de conmutatividad anterior, tienes:

RE: Como demostrar la siguiente proposición sobre endomorfismos

En el penúltimo paso se usa que como g es un endomorfismo lineal puede salir de una suma con coeficientes en el cuerpo K.

Por tanto,

RE: Como demostrar la siguiente proposición sobre endomorfismos

¡Un saludo!

Discípulo Respuesta escrita el 22 de mayo de 2019.
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