¿Cómo se calcula la función gamma de una fracción?
No sé cómo calcular la función gamma en una fracción, por ejemplo, en 7/2, es decir, Γ(7/2).
Encuentro fórmulas en mis apuntes de clase, pero no tengo ningún ejemplo resuelto y en un examen lo piden.
No sé cómo hacerlo.
Gracias
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Solución
Hola Silvia
Tienes que basarte en dos propiedades de la función gamma:
Γ(1/2)=(π)1/2
Γ(1+x)=xΓ(x)
El truco es ir reescribiendo el número que tienes dentro de la función gamma como 1+algo, utilizar la propiedad Γ(1+x)=xΓ(x) y volver a hacerlo otra vez hasta que al final llegas al 1/2 y aplicas Γ(1/2)=(π)1/2.
Te hago un ejemplo con Γ(7/2)
Primero reescribo el 7/2
Γ(7/2)=Γ(1 + 5/2)
y ahora utilizo la fórmula Γ(1+x)=xΓ(x)
Γ(7/2)=Γ(1 + 5/2)=(5/2) Γ(5/2)
Hago lo mismo con el 5/2, lo reescribo como 1 + algo
Γ(7/2)=Γ(1 + 5/2)=(5/2) Γ(5/2) =
= (5/2) Γ(1+3/2)
y vuelvo a utilizar la fórmula
Γ(7/2)=Γ(1 + 5/2)=(5/2) Γ(5/2) =
= (5/2) Γ(1+3/2) = (5/2)(3/2) Γ(3/2)
Una vez más
Γ(7/2)=Γ(1 + 5/2)=(5/2) Γ(5/2) =
= (5/2) Γ(1+3/2) = (5/2)(3/2) Γ(3/2) =
= (5/2)(3/2) Γ(1+ 1/2) = (5/2)(3/2)(1/2) Γ(1/2)
y cuando por fin aparece el Γ(1/2) utilizo que es igual a la raíz de pi
Γ(7/2)=Γ(1 + 5/2)=(5/2) Γ(5/2) =
= (5/2) Γ(1+3/2) = (5/2)(3/2) Γ(3/2) =
= (5/2)(3/2) Γ(1+ 1/2) = (5/2)(3/2)(1/2) Γ(1/2) = (15/8) (π)1/2
Y ya está !!!!
Saludos
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