¿Cuál es la definición de pseudoinversa?

  Resuelta

¿Qué es una pseudoinversa? ¿Para qué sirve eso? ¿Es como una inversa de broma o qué?

La veo aparecer de repente en mis apuntes pero no está explicada por ningún lado.

 

Estudiante Enviada el 12 de diciembre de 2018 a Matrices.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola Fernando.

Dada una matriz Amxn :

Si A·AT es inversible se define la pseudoinversa de A por la derecha (R) como

R = A( A·AT)-1

Si AT·A es inversible se define la pseudoinversa de A por la izquierda como

L = (ATA)-1 AT

 

Parecen definiciones caprichosas, pero si lees lo que te explicaré a continuación entenderás perfectamente de dónde salen esas fórmulas y a qué viene ese concepto “pseudoinverso”.

Vamos a repasar primero el concepto de inversa.

Dada una matriz A cuadrada y con detA≠0, su inversa A-1 es una matriz que cumple

A  A-1 = A-1 A =  I

Fíjate que no sólo se trata de que al multiplicar la matriz con su inversa tiene que dar la matriz identidad, sino que eso debe ocurrir independientemente de en qué orden las multiplicamos. Eso es una inversa.

Ahora imagina que tenemos una matriz que no tiene inversa, o bien porque es cuadrada pero con determinante igual a cero, o bien porque ni siquiera es cuadrada y la pobre no tienen ninguna opción de tener inversa.

En ese caso no existirá ninguna matriz M que cumpla que

A M = M A = I

pero quizás sí que exista alguna matriz R que cumpla

A R = I

(el producto nos da la identidad si multiplicamos en ese orden, aunque no si multiplicáramos en el otro)

y otra L que cumpla que

L A = I

(de nuevo el producto nos da la identidad si multiplicamos en ese orden, aunque no si multiplicáramos en el otro)

A esas matrices R y L se les llama pseudoinversas. A la R se le llama pseudoinversa por la derecha y a la L se le llama pseudoinversa por la izquierda. Son como unas “inversas de mentirijilla” porque sí que es verdad que al multiplicar a la matriz original A por ellas obtienes la identidad, pero cada cada una de ellas sólo funciona al multiplicar en uno de los órdenes para el producto.

¿Y cómo se hallan R y L?

Para eso vamos jugar con las matrices A·AT y AT·A, que siempre son cuadradas.

Empezamos con A·AT. Si A·AT es inversible entonces se cumple que

(A·AT) (A·AT )-1 =  I

Si ahora reescribimos así (el producto de matrices cumple la propiedad asociativa)

A · ( AT(A·AT )-1 ) =  I

tenemos que la matriz AT(A·AT )-1 cumple lo que se le pide a una pseudoinversa por la derecha y por lo tanto

R = A( A·AT)-1

Ahí tienes la fórmula. Fácil.

Ahora podemos hacer lo mismo pero con AT·A. Si AT·A es inversible entonces se cumple que

 (AT·A)-1 (AT·A) = I

y reescribiendo

( (AT·A)-1 AT  )  A = I

tenemos que (AT·A)-1 AT  cumple lo que se le pide a una pseudoinversa por la izquierda y por lo tanto

L = (AT·A)-1 AT

Y ya está. Fácil. Yo creo que es más fácil deducir las fórmulas que memorizarlas.

Espero que se haya entendido.

Saludos



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 12 de diciembre de 2018.

Clarísimo queda. 🙂. Thak you very mucho !!!!

fernandooros Estudiante el 12 de diciembre de 2018.
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