¿De dónde sale la derivada segunda?
Estoy mirando una deducción de la ecuación de difusión. Describe el valor de la función cuando ha transcurrido un delta de tiempo a partir del valor de la función en el mismo momento a una distancia h del punto.
Después hace tender la h y la delta de t a cero. Entiendo que salga la derivada respecto al tiempo en el lado izquierdo, pero en el lado derecho? No veo por qué u_xx. Supongo que eso es la derivada segunda respecto a x, pero no sé de dónde sale:
Gracias!!
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Solución
¡Hola!
No está claro que lo de la derecha tienda a la derivada segunda a no ser que te sepas una “definición alternativa” de la derivada segunda. En vez de concatenando dos límites, se puede expresar con un solo límite así:
De hecho, esta manera de ver la derivada segunda es la que permite que se relacione con los procesos de difusión.
Otra cosa que tienes que tener en cuenta es que, como estás tomando límites en delta de t y en h al mismo tiempo y tienes un cociente, tienen que tender a cero de manera similar para que dé un número finito. Es decir, que h tiende a cero como raíz de t.
Un saludo.
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Muchas gracias! Claro, yo no había visto esa expresión de la derivada segunda o a lo mejor sí pero no me acordaba… De todas maneras, estoy intentando ahora verle el sentido y no tengo muy claro cómo se pueden “unificar” los dos límites, porque si aplico la definición directamente me queda como dependiente de dos variables:
Entiendo que si la variable del primer límite y la del segundo fueran la misma quedaría muy parecido, ¿pero cómo se pueden manejar estas expresiones con dos límites?
Hola! Perdón por el retraso, como no tengo muy muy clara esta pregunta se me había ido de la cabeza. No veo una manera muy clara de justificar esa “combinación de los límites”. Pero buscando buscando he encontrado una justificación de la fórmula usando la regla de l’Hôpital.
Lo único que hay que un poco raro es poner que es lo mismo hacer el límite cuando h tiende a cero que cuando -h tiende a cero.
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