Definición de delta de Dirac

¡Hola! La verdad es que la delta de Dirac es un objeto confuso y turbio. En realidad es eso que dices: algo que vale cero fuera de un punto e infinito en ese punto. Como esta definición no es muy formal, se define de manera indirecta utilizando otras propiedades que tendría semejante objeto para no caer en propiedades «incorrectas» de funciones. Creo que la mejor manera de comprender qué es es viendo algunas de las muchas «caras» que parece tener:

• Objeto que selecciona valores dentro de una integral: imagínate que estás multiplicando un vector (a1,a2,a3,a4) por un vector (0,0,1,0). Este producto «mata» a todos los elementos menos al tercero; es decir, tu vector (0,0,1,0) es una especie de seleccionador de la tercera componente. Esto se puede expresar como delta_i3. Esta delta discreta se denomina delta de Kronecker, y es 0 si no coinciden sus subíndices y 1 si coinciden sus subíndices. Por su definición, sirve como «seleccionador dentro de un sumatorio». Se puede ver la delta de Dirac como analogía a la delta de Kronecker en el límite en el que el sumatorio tiende a una integral. La delta de Dirac selecciona solo un valor de ese sumatorio infinito:

• Distribución: para formalizar la definición de delta de Dirac se utiliza el concepto de distribución. Una distribución es un objeto que queda definido por cómo afecta a otras funciones al integrar su producto. Formalmente se define como un operador lineal que actúa sobre el espacio de funciones infinitamente derivables con soporte compacto. En el caso de la delta de Dirac, sería un operador que, aplicado sobre una función, devuelve el valor de esa función en el cero. Independientemente de los detalles técnicos, la cuestión es esta definición alternativa convierte precisamente la propiedad de «seleccionador de un valor dentro de una integral» en la propiedad que define a la delta. En este contexto, sería un objeto que por sí solo no tendría sentido; solo cuando actúa sobre otras funciones.

• Límite de funciones: también se puede ver la delta de Dirac como «objeto límite» . La siguiente sucesión de funciones cumple que tiene área 1 siempre y puntualmente tiende a un objeto similar a la definición intuitiva de 0 en todos lados menos infinito en uno.

Si calculamos el límite en función de x:

Además, cumple que si la utilizamos como «seleccionador de un valor dentro de una integral», a medida que avanza va siendo más y más precisa. Es decir,

Es decir, esta sucesión de funciones tiende a un objeto que cumple todas las propiedades que le atribuimos a la delta de Dirac. Esto nos permite interpretar la delta como un límite de funciones, no como una función en sí. En esta imagen se ve cómo va convergiendo puntualmente esta sucesión:

Para mí, lo que sucede con la delta de Dirac es algo análogo a lo que podría suceder con el concepto de infinito si se intentase definir infinito como un número. A priori no encaja en la definición, pero es una idea que tiene sentido concebir, porque se puede caracterizar por propiedades como por ejemplo que es mayor que cualquier número que puedas escoger. Esto lleva a que se pueda definir como límite de una sucesión creciente, por ejemplo, con la típica definición de «para todo M existe n tal que a_n>M». Por último, se puede crear un formalismo que incluya la noción de infinito dentro de los números reales: los «numeros reales extendidos». Pero por más que se defina de varias maneras, el concepto es siempre el mismo.

¡Espero que tenga sentido lo que he intentado explicar!