Demostrar que unas funciones son LI
Buenas !
Estoy estudiando ecuaciones diferenciales de orden n. La definición de sistema fundamental de soluciones dice que las funciones que lo forman, entre otras cosas, tienen que ser LI. Pero… ¿Cómo se demuestra que unas funciones son LI? No son vectores, no puedo construir una matriz con ellas. ¿Se tiene que hacer por definición? En clase no nos lo han explicado. Igual lo hacen la semana que viene, no se, o en clase de problemas. Pero si alguien sabe cómo se hace y no es muy largo me gustaría saberlo.
Muchas gracias
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Solución
Hola Fernando
Primero aclararte que las funciones sí pueden considerarse vectores. En cursos básicos de Algebra no suele explicarse porque se trata de un espacio vectorial de dimensión infinita, pero si estudias una ingeniería o matemáticas puras, verás como sí llegarás a estudiarlos.
Y no basta con la definición. Si construyes una combinación lineal por ejemplo de las funciones f1(x),…,fn(x) y la igualas a cero
λ1 f1(x)+ … + λn fn (x) = 0
ahora ¿ qué harías para hallar las λ ? Tienes n incógnitas y una única ecuación. Así que se necesita algo más. Pero los matemáticos han trabajado mucho y bien al o largo de la historia y hay una herramienta matemática que se llama wronskiano (en honor a Wronski) que soluciona el problema. Consiste en crear más ecuaciones derivando una y otra vez hasta tener en total n ecuaciones y después calcular el determinante para saber si el sistema que resulta tiene alguna solución diferente de la trivial (en cuyo caso serían LD) o sólo la trivial (en cuyo caso serían LI).
Te lo puedo explicar con más detalle, pero el tema no es evidente, así que mejor esperamos a ver si te lo explican en clase y realmente lo necesitas.
Ciao !
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