Demotrar la siguiente propiedad de una sucesión a_n>0

Hola!

Sea

a>0

y

lim (an+1)/(an)=a

demostrar que

lim (an)1/n =a

.

Llevo algun rato pensando y no se como demostrarlo, me podeis ayudar??

 

Gracias

Novato Enviada el 27 de octubre de 2018 a Sucesiones numéricas.
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2 Respuesta(s)

Solución

Hola!

Esta pregunta no es fácil, yo recuerdo haberlo estudiado en mis tiempos mozos como parte de la teoría en el curso de cálculo.  Hay que aplicar un truquillo y entender muy bien la definición de límite. El truco en el que se basa es el siguiente:

RE: Demotrar la siguiente propiedad de una sucesión a_n>0

Es decir,  se puede expresar cualquier término de la sucesión como un producto de cocientes de términos por los anteriores. Esto lo puedes hacer para tantos elementos como quieras, es decir, para cualquier N. Es cierto que queda un término suelto, a_N, pero no importa. Teniendo esto en cuenta aplicas la definición de límite del cociente:

RE: Demotrar la siguiente propiedad de una sucesión a_n>0

Si fijas ahora un épsilon, aplicas el truquillo del principio “retrocediendo” solo hasta el término a_N que te asegure que se cumple la desigualdad de arriba. Como estás por encima de a_N, cada uno de los términos cumple la desigualdad, y por tanto al multiplicarlos te queda la desigualdad elevada al número de cocientes que tienes. Es aquí cuando entra la raíz enésima para quitar esta potencia:

RE: Demotrar la siguiente propiedad de una sucesión a_n>0

Por último, hay que tomar límites. Recuerda que, desde que antes hemos cogido el épsilon, la N es fija, y por tanto la a_N es un número fijo también. Es decir, la n tiende a infinito, pero la N queda fija una vez que has determinado el épsilon que estás examinando. Esto hace que la raíz enésima de a_N tienda a uno, ya que la raíz enésima de una contante tiende a uno. En cuanto a los otros términos, (L+epsilon) y (L-epsilon), el exponente tiende a 1, no hay indeterminación ni problema alguno. El resultado es:

RE: Demotrar la siguiente propiedad de una sucesión a_n>0

Esto nos dice que no importa el épsilon que cojamos, que el límite de la raíz enésima siempre está a menos distancia que épsilon de L. Por tanto, el límite de la raíz enésima tiene que ser igual a L.

Un saludo.

 

Ayudante Respuesta escrita el 29 de octubre de 2018.
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Hola

Dice el enunciado si la sucesión tiende a infinito o a cero ????

Saludos

Maestro Respuesta escrita el 27 de octubre de 2018.

Cuando n tiene a infinito a_n va a cero.

oriolrama Novato el 27 de octubre de 2018.
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