Desigualdad entre medias por inducción

Hola!

Me he encontrado con este problema de inducción y no sé cómo hacerlo: demostrar la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica.

Desigualdad entre medias por inducción

La pista que nos dan es que lo demostremos para 2, después que si es cierto para n es cierto para 2n, y por último que si es cierto para n es cierto para n-1. No entiendo lo que dice la pista, ¿por qué no se demuestra que n->n+1 y ya está? ¡¡Gracias!!

Novato Enviada el 25 de septiembre de 2018 a Métodos de demostración.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola

Este problema es muy típico y hay muchas maneras de resolverlo. La que indica tu pista se basa en una manera un poco particular de aplicar la inducción. Normalmente, cuando utilizamos inducción decimos: se cumple para uno; si se cumple para un natural cualquiera n se cumple para n+1; por tanto, se cumple para todos los naturales. La imagen que se suele usar es la del dominó: como se cumple para 1, se cumple para 2; como se cumple para 2, se cumple para 3; etc. Para este ejercicio se “cubren todos los números naturales” de otra manera. Tomas 2 como punto de partida y a continuación puedes avanzar tanto como quieras multiplicando por dos. Después puedes ir bajando de uno en uno, ya que que sea cierto para n implica que es cierto para n-1. En este dibujo puedes ver, por ejemplo, cómo aseguraríamos que es cierta la implicación para el nueve:

RE: Desigualdad entre medias por inducción

 

Para la demostración en sí el caso n=2 es bastante sencillo. Para el caso de 2n el truco está en agrupar los primeros n elementos y los últimos n en dos grupos, y así puedes aplicar el caso anterior:

RE: Desigualdad entre medias por inducción

 

Por último, si supones que es cierto para elementos, para ver que es cierto para n-1 puedes coger los elementos x_1, x_2, …, x_(n-1) y ampliarlos con la propia media (x_1+x_2+…+x_(n-1))/(n-1) para tener n elementos y poder aplicar la hipótesis de inducción.

Suerte!

Ayudante Respuesta escrita el 26 de septiembre de 2018.

Muchas gracias!! Ya me ha quedado claro por qué se sigue ese método. Pero la última parte no la acabo de entender. A qué te refieres con “ampliarlos con la propia media”?

Gauss93 Novato el 1 de octubre de 2018.

Hola. Me refiero a que hay que partir de la expresión:

RE: Desigualdad entre medias por inducción

O sea, como quieres demostrar la desigualdad para n-1 coges n-1 elementos. Pero como tienes la desigualdad para n elementos construyes el último a partir de los que tienes, y coges su media justamente, porque estará implicada en la propia desigualdad que quieres demostrar.

mansuub Ayudante el 4 de octubre de 2018.
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