Dibujar recinto de integral triple

En este problema

Dibujar recinto de integral triple

resuelvo así (no sé si está bien)

Dibujar recinto de integral triple

y lo que no consigo ver es lo del recinto.

Agradezco cualquier ayuda.

Saludos

Estudiante Enviada el 10 de abril de 2018 a Integrales triples.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola

La integral está bien calculada.

Respecto al recinto, y entendiendo que la integral está planteada con el sistema de coordenadas cilíndrico

x = ρ cosθ
y = ρ sinθ
z = z

entonces puedes deducir el recinto de integración, que es un volumen, de esta forma:

Vamos a empezar con la x y la y. Empezamos dibujando únicamente esos dos ejes, como si miráramos el volumen desde arriba.

Nos dicen que el ángulo va de 0 a π así que el volumen tiene que estar en este trozo del plano x,y

RE: Dibujar recinto de integral triple

También sabemos que a la ρ la integran desde 0 hasta sinθ. Es decir, que a medida que el ángulo va girando desde 0 hasta π, la ρ, que es la distancia desde el (0,0), se tiene que alejar desde 0 hasta que la ρ coincide con el sinus de ese θ.

Podemos deducir cuál es la curva ρ=sinθ si pasamos a cartesianas. Podemos por ejemplo hacerlo así:

ρ = sinθ
ρ2 = ρ sinθ
x2+y2 = y

que se puede reescribir para concluir que es una circunferencia desplazada

x2+(y-1/2) 2 = (1/2)2

Así que en el plano x,y la integral recorre este recinto

RE: Dibujar recinto de integral triple

Tenemos de momento un círculo desplazado en las “y”.

Ahora le toca a la z. La z la integran desde z=0 hasta z=ρ cosθ, es decir, desde z=0 hasta el plano z=x.

Es decir, que por encima de nuestro círculo desplazado tenemos un plano z=x y el volumen va desde el plano coordenado x,y hasta él.

Es difícil de dibujar. Te adjunto unas capturas de pantallas. El volumen es el trozo de cilindro rojo que queda entre el plano inclinado y el plano z=0

Esto es lo que verías desde arriba

RE: Dibujar recinto de integral triple

Aquí tienes el eje y apuntando directamente hacia tí, es el que no se ve, el de color verde. Así puedes ver bien cómo queda el plano z=x. El recinto no es todo el cilindro rojo, sino el trozo que va desde el plano inclinado hasta el plazo coordenado x,y.

RE: Dibujar recinto de integral triple

Aquí te dejo dos imágenes más. El eje x es el rojo. El eje y es el verde

RE: Dibujar recinto de integral triple

RE: Dibujar recinto de integral triple

El recinto es ese trozo que queda entre el plano inclinado y el plano coordenado x,y.

Espero que lo puedas ver bien.

Ciao !



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 12 de abril de 2018.

Genial Silan. Muchísimas gracias.

Mario Estudiante el 12 de abril de 2018.
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