Ecuación de la circunferencia

Hola. ¿Me explicarían la resolución de este problema?

Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x-4y-1=0 en el punto (3,2).  Hallar su ecuación.

Novato Enviada el 10 de enero de 2018 a Ecuaciones.
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4 Respuesta(s)

Hola

Te explico cómo se enfocan en general este tipo de problemas de geometría.

Lo primero es tener claro qué estamos buscando. En este caso se trata de una circunferencia, cuya expresión general es

(x-a)2+(y-b)2=R2

donde R es el radio y (a,b) es el centro de la circunferencia.

El enunciado dice que es una circunferencia de radio 5, así que buscamos una circunferencia con expresión

(x-a)2+(y-b)2=25

lo que nos deja sólo dos variables (dos incógnitas), la “a” y la “b”.

Para determinarlas, seguro que en el enunciado encontrarás dos datos para poder construir un sistema 2×2 que las involucre.

En este problema nos dicen que la circunferencia debe ser tangente a una recta conocida en un punto conocido. Eso son dos condiciones porque obliga a la circunferencia a pasar por ese punto y además a tener una pendiente que coincida con la de la recta en ese punto. Dos condiciones, justo lo que necesitamos.

Si la circunferencia debe pasar por el punto (3,2) entonces debe cumplirse

(3-a)2+(2-b)2=25

lo que ya nos da una ecuación.

Y ahora sólo falta imponer que las pendientes de la recta y la circunferencia coincidan en el punto (3,2)

La recta tiene siempre la misma pendiente en cualquier punto (para eso es una recta).

Si reescribimos

3x-4y-1=0
y=3/4 x -1/4

vemos que tiene pendiente 3/4.

Ya sólo queda imponer que nuestra circunferencia tenga también pendiente 3/4 cuando x=3. Para eso calculamos la derivada de la circunferencia en un punto genérico. A partir de la ecuación

(x-a)2+(y-b)2=25

y cambiando y=y(x) para no cometer errores al derivar en implícita (error típico, olvidarse de aplicar regla de la cadena), derivamos a ambos lados de la ecuación respecto a “x”

(x-a)2+(y(x)-b)2=25

quedando

2 (x-a) +2 (y(x)-b)  y‘(x)=0

Ahora ya sólo falta sustituir el punto (3,2)

2(3-a)+2(y(3)-b)  y‘(3)=0

y como y(3)=2  (porque se trata del punto (x,y)=(3,2))  y sabemos que y'(3)=3/4

podemos crear la segunda ecuación así

2(3-a)+2(2-b) 3/4=0

Ya sólo falta resolver el sistema de ecuaciones

(3-a)2+(2-b)2=25
2(3-a)+2(2-b) 3/4=0

pero eso te lo dejo para tí !!!!

Cuando tengas “a” y “b” las sustituyes en (x-a)2+(y-b)2=25  y ya tienes tu circunferencia.

Espero que hayas entendido el razonamiento. Si algo no queda claro escribe un comentario en mi respuesta.

Chao !

Maestro Respuesta escrita el 10 de enero de 2018.
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Hola! Muchísimas gracias. Pero olvidé mencionar que no puedo usar derivación en  mi examen para resolverlo. 🙁

Novato Respuesta escrita el 11 de enero de 2018.

Hola mrsaturn. Gracias por utilizar saladeestudio.org.

Cuando quieras comentar algo sobre una pregunta o respuesta utiliza los Comentarios, no crees una nueva respuesta.

Vamos a cambiar el formato del acceso a los comentarios para evitar confusiones porque estamos seguros de que va a pasar más veces. La verdad es que está un poco confuso.

Saludos

 

 

Ocap Moderador el 11 de enero de 2018.
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Solución

Vaya !  Yo te expliqué cómo se resuelven en general ese tipo de problemas para todo tipo de curvas. Claro que en tu ejercicio una de ellas es una recta y por lo tanto también se puede resolver por trigonometría o a partir de la recta perpendicular.

Te lo explico a partir de la recta perpendicular.

La circunferencia que buscamos tiene expresión (x-a)2+(y-b)2=25, así que sólo necesitamos encontrar su centro (la “a” y la “b”).

El punto (a,b) tiene que estar sobre la recta perpendicular a la del enunciado en el punto (3,2) y también debe estar a distancia 5 del punto (3,2). Fíjate en el dibujo:

RE: Ecuación de la circunferencia

La recta perpendicular a 3x-4y-1=0 en el punto (3,2) se puede hallar de varias formas. Por ejemplo sabiendo que nuestra recta pasa por (3,2) y tiene pendiente 3/4 podemos reescribirla así

y-2 = 3/4 (x-3)

y por lo tanto su recta perpendicular que también pasa por el (3,2) es

y-2 = -4/3 (x-3)

Pues bien, el punto (a,b) que buscamos está sobre ella y por lo tanto debe cumplir

b-2 = -4/3 (a-3)

Por otro lado, como sabemos que la circunferencia tiene radio 5, la distancia entre el punto (a,b) y el punto (3,2) debe ser 5 y por lo tanto

( (3-a)2+(2-b)21/2 = 5

que es lo mismo que

 (3-a)2+(2-b)2= 25

(llegas a la misma conclusión imponiendo que el punto (3,2) pertenezca a la circunferencia)

Ya tenemos un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas:

b-2 = -4/3 (a-3)

( (3-a)2+(2-b)21/2 = 5

Si lo resuelves te van a salir dos soluciones:

1ª solución: a=0 y b=6

2ª solución: a=6 y b=-2

¿Por qué salen dos? Porque hay dos circunferencias que cumplen las exigencias del enunciado. Fíjate en este otro dibujo

 

RE: Ecuación de la circunferencia

Espero que ahora sí !!!!

Chao



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 11 de enero de 2018.
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¡Muchísimas graaaacias! Me sirvió de mucho 😀

PD: Intenté comentar las respuestas pero no puedo, pues debo tener ciertos puntos acumulados. :s

Novato Respuesta escrita el 12 de enero de 2018.

Tienes razón. Hemos cambiado esa limitación. Ahora con 1 punto ya es posible comentar.

Gracias por utilizar saladeestudio.org

Ocap Moderador el 12 de enero de 2018.
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