Ecuación para los valores propios

Buenas!

Cuando se habla de diagonalización aparecen una y otra vez la expresión Ker(A-lambda*I) y el det(A-lambda*I). Intuyo más o menos el significado de lo primero, pero ¿alguien me podría explicar por qué se buscan las soluciones de det(A-lambda*I)=0 para hallar los valores propios?

 

Novato Enviada el 9 de octubre de 2018 a Aplicaciones Lineales.
Crear comentario



1 Respuesta(s)

Solución

¡Hola!

La expresión de la que hablas con el ker aparece como equivalente a la definición de vector propio teniendo en cuenta dos cosas:

1. Multiplicar un escalar lambda por un vector es igual a multiplicar ese escalar por la matriz identidad y esta por el vector.
2. Como las aplicaciones son lineales se puede “sacar factor común” en una resta.

Con la siguiente deducción se ve que se puede expresar el espacio de vectores propios como Ker(A-lambda I):

RE: Ecuación para los valores propios

El problema del cálculo de vectores propios lo puedes expresar como un problema de matrices, un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, en dimensión tres:

RE: Ecuación para los valores propios

La clave ahora está en lo siguiente: el sistema de arriba siempre tiene solución (0,0,0). Es decir, el cero siempre es un “vector propio” con valor propio cero (por eso se excluye de la definición). Así, si la solución de este sistema es única, sólo tendremos la solución (0,0,0), ya que esta siempre está, y por tanto no habrá ningún vector propio. Por tanto, se analizan las soluciones del sistema en función de lambda para averiguar qué lambdas nos dan más soluciones que el (0,0,0). Usando Rouché-Frobenious  tenemos:

1. El rango de la matriz y el de la matriz ampliada son iguales por ser ceros la columna de la ampliada->siempre tiene solución (lógico, porque el (0,0,0), como hemos dicho, siempre es solución).

2. Para que sea indeterminado (muchas soluciones) es necesario que el rango de la matriz sea menor que el número de incógnitas. Una matriz con determinante distinto de cero tiene rango máximo, con lo que la condición para que sea indeterminado será que el determinante sea cero.

En resumen, la ecuación del determinante es una condición que nos asegura que el sistema de ecuaciones que define los vectores propios tiene más soluciones que el (0,0,0). Si un lambda hace que se cumpla, existirán vectores propios para ese lambda, con lo que será un valor propio. Por eso buscamos todas las soluciones de esa ecuación.

¡Espero que lo hayas entendido!

Estudiante Respuesta escrita el 10 de octubre de 2018.

Ahh, vale, ya veo por qué justamente ese determinante tiene que ser 0. Gracias por la respuesta tan detallada!

Gauss93 Novato el 11 de octubre de 2018.
Crear comentario




¿Quieres compartir esta página?

Enviar por email
Compartir en Facebook
Compartir en Google+
Compartir en Twitter
Compartir en Whatsapp