Ecuaciones diferenciales

Un resorte espiral lo estira 20 cm un peso de 40 N. La masa está conectada a un mecanismo
amortiguador que tiene una constante de amortiguamiento de 5 N s/m. Si la masa está sujeta a una fuerza
externa de la forma 20 cos 2t N, determine la respuesta del estado estable del sistema; ¿cuál es la
elección óptima de la masa m para maximizar la respuesta del sistema a esta fuerza externa? Respuesta:

u= 9800/20401( 900 cos 2t+49 sin 2t) cm.

m= √10/6 Kg.

 

Novato Enviada el 13 de abril de 2020 a Ecuaciones diferenciales 1er orden.
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1 Respuesta(s)

Solución

Buenas.

Lo primero es plantear la ecuación diferencial del movimiento. En este caso es:

RE: Ecuaciones diferenciales

Aquí μ=5 es la constante de amortiguamiento, y k es la constante del muelle. Utilizando que para un resorte F=kΔx se puede deducir de la información que te dan que k=200 N/m (lo he puesto en unidades del sistema internacional para evitar líos). Por tanto, el único parámetro en la ecuación es la masa, m.

Como es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el método de resolución general es: buscar una solución general de la ecuación homogénea, buscar una solución particular de la ecuación no homogénea y la solución general de la no homogénea será la suma de las dos. La solución de la ecuación homogénea se consigue resolviendo el polinomio característico:

RE: Ecuaciones diferenciales

Por tanto, la solución homogénea es:

RE: Ecuaciones diferenciales

Fíjate en que, según el valor que haya de m las raíces del polinomio característico pueden ser o bien reales y negativas (si μ2>4km) o complejas con parte real negativa (si μ2<4km). En todo caso, como la parte real de las exponenciales será negativa, la solución homogénea tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Por tanto, el estado estacionario viene dado por la solución particular. Para obtenerla utilizamos el método de los coeficientes indeterminados con una combinación de senos y cosenos de la misma frecuencia que la fuerza externa x(t)=A cos(2t)+B sin(2t). Derivamos para obtener las diferentes derivadas temporales y sustituimos en la ecuación para encontrar los coeficientes A y B:

RE: Ecuaciones diferenciales

RE: Ecuaciones diferenciales

Igualando los términos con cosenos y los términos con senos obtenemos un sistema de ecuaciones para A y B:

RE: Ecuaciones diferenciales

La solución x(t)=A cos(2t) + B sin(2t) con estos valores de los coeficientes (que dependen de m) será la solución estacionaria. Para ver qué valor de m  maximiza la respuesta vemos qué valor de m hace que la amplitud resultante sea más amplia. La función x(t)=A cos(2t) + B sin(2t) es una función sinusoidal, lo que pasa es que está expresada como suma de sin y cos en vez de como una sola función trigonométrica. Para expresarla como una sola función trigonométrica igualamos a una función con una amplitud C y un desfase γ:  C cos(2t+γ).  Desarrollando por la fórmula de la suma del coseno: cos(2t+γ)=cos(2t)cos(γ)-sin(2t)sin(γ). Igualamos ambas expresiones:

RE: Ecuaciones diferenciales

Y ahora igualamos los coeficientes del seno y los del coseno:

RE: Ecuaciones diferenciales

Elevando al cuadrado las dos ecuaciones y sumándolas conseguimos sacar la amplitud C:

RE: Ecuaciones diferenciales

RE: Ecuaciones diferenciales

Por tanto, la amplitud será:

RE: Ecuaciones diferenciales

La amplitud será máxima cuando m=25 porque es cuando el denominador es menor. No me cuadra con tu respuesta, no sé por qué exactamente. Creo que las unidades están bien (todo en unidades del sistema internacional), así que no sé por qué puede ser. Espero que al menos el procedimiento te resulte útil.

Maestro Respuesta escrita el 14 de abril de 2020.
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