Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Hola!

Como todos los problemas de oscilaciones forzadas, se trata de resolver la ecuación diferencial lineal de orden dos adecuada. Para plantearla primero tenemos que calcular las constantes: la constante del muelle, que se obtiene dividiendo la fuerza entre la elongación; y la masa de la partícula, que se calcula mediante el peso. La constante de amortiguamiento ya está en unidades del S.I., con lo que no hay que hacer nada:

Ahora hacemos el balance de fuerzas: la fuerza total es igual al rozamiento y la fuerza que ejerce el resorte, ambas opuestas al movimiento (signo -). Sustituyendo los valores obtenemos la ecuación:

Como es una ecuación diferencial lineal de orden dos homogénea se resuelve calculando las raíces del polinomio característico:

Como las raíces son complejas la solución es una combinación lineal de senos y cosenos en los que dentro aparece la parte imaginaria de la raíz, multiplicados por una exponencial de la parte real. Como es de orden dos tenemos dos constantes, una que multiplica a cada término y que hay que calcular mediante las condiciones iniciales.

Sustituimos ahora la condición de la posición inicial:

Ahora sustituimos la condición inicial de la velocidad (la derivada x'(t)). El signo de la condición inicial lo podemos poner negativo o positivo dependiendo de cómo consideremos el eje. Si consideramos movimientos hacia abajo positivos, tenemos:

Por tanto, la solución final es:

Un saludo.