Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

Buenas Tardes, estoy entrando en el mundo de las ecuaciones diferenciales y tengo unas dudas en cuanto a su interpretación práctica.

Tengo la siguiente tabla de datos:

p1= (0,4); p2=(1,8); p3=(2,16); p4=(3,32), p5=(4,64)

si se analiza la información de puede deducir solo por los datos que la ecuación que modela el comportamiento de la tabla es: 2^(x+2), al menos para el intervalo (0, +inf.)

Ahora bien, si quisiera obtener la representación mediante ecuaciones diff, tomando deltas entre muestra y muestra, el sistema de variables responde a, y’=(1/2)y, ahora resolviendo esta ecuación diferencial obtenemos y=4*e^(0,5*x), las gráficas de ambas f(x) son distintas.

Pero si se que existe una ecuación empleando e tal que: 2^(x+2) = b*e^(ax)+c, quisiera saber que es lo que estoy malinterpretando en referencia a las ecuaciones diferenciales que no me permite a partir de mis datos obtener el f(x) que coincida con mi tabla.

 

Saludos,

Alexander.

Novato Enviada el 26 de noviembre de 2018 a Ecuaciones diferenciales 1er orden.
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6 Respuesta(s)

Hola

No acabo de entender tu tabla.

La tabla debería dar unos puntos, cada uno de ellos con una coordenada “x” y una coordenada “y”. Pero sólo nos das los valores  0,4   1,8   2,16    3,32   4,64 , que supongo que son valores de “y”, sin sus “x” correspondientes. Así no podemos saber si modelas bien, ni con la función ni con la ecuación diferencial. Quizás das por hecho algún convenio con respecto a las “x” que yo por lo menos desconozco.

¿Puedes decirnos cuáles son cada uno de los puntos en formato (x,y)?

Saludos

Maestro Respuesta escrita el 26 de noviembre de 2018.
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Hola Laurel,
Los datos indicados son los dato de la tabla, disculpa la forma como los presente, los puntos o coordenadas serían:
(0, 4) (1, 8) (2, 16) (3, 32) (4, 64)

Novato Respuesta escrita el 26 de noviembre de 2018.
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Hola Alexander!

La solución no cuadra porque la ecuación diferencial no corresponde a la función que estás buscando. Fíjate que la ecuación diferencial que satisface 2^(x+2) es:

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

ya que

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

Como

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

la exponencial en base dos o en base e satisfacen la misma ecuación diferencial pero con diferentes constantes de proporcionalidad. En tu caso te da una constante de proporcionalidad de 2 porque estás considerando un cociente incremental muy específico de distancia entera y la base es dos. Pero un paso entero es muy mala aproximación para la derivada; si tuvieras puntos más cercanos verías que los cocientes incrementales se acercan más al log(2), lo que te daría una función más parecida a la exponencial en base 2. En resumen, no puedes modelar tu tabla mediante una ecuación diferencial porque los datos son discretos y están a distancias muy grandes.

Discípulo Respuesta escrita el 28 de noviembre de 2018.
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Hola RMGMATH6,
Genial, totalmente entendido y de acuerdo, esto me trae una duda, en los casos que enfrento ese problema, donde tengo la tabla y veo este problema, que es lo que se recomienda para abordar el problema?

Novato Respuesta escrita el 28 de noviembre de 2018.
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Mi pregunta va en el sentido que:
– Originalmente lo que tenía era la tabla,
– en este caso pude identificar por análisis de datos y sucesiones la función apropiada,
– ahora bien por ecuaciones diferenciales, cómo dices, la aproximación de la diferencia fue muy pobre.

Cuando tengo un tengo scenario así que se recomienda?

Novato Respuesta escrita el 28 de noviembre de 2018.
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Pues… no es un tema fácil. Obtener una función a partir de una serie de datos no se hace con ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar procesos cuyo estado en un momento de tiempo determinado afecta de una manera conocida al estado inmediatamente posterior. La verdad es que no soy experto en absoluto en modelar distribuciones de datos con funciones, pero  generalmente se suele hacer mediante programas específicos, como R, Matlab o programas de representación como gnuplot. Normalmente lo mejor es tener una idea de qué tipo de función se adapta mejor a nuestros datos: exponencial, lineal, logarítmica etc., y el programa busca los parámetros que mejor aproximan la función.

De todas formas, en el caso de funciones exponenciales se puede hacer “a mano” usando lo siguiente:

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

Es decir, que si representamos el logaritmo de y en función de x podemos aproximar estos datos con una recta cuya ordenada en el origen es el logaritmo de la constante que multiplica nuestra exponencial y cuya pendiente es el valor que multiplica la x en la exponencial. Si tienes una serie de puntos, la aproximación por rectas se puede hacer según las siguientes fórmulas: Y=A*X+B, siendo

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

En tu caso, si sabes que te tiene que dar una exponencial, tomas como X los valores de x y como Y el logaritmo de la segunda coordenada:

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

Aplicando las fórmulas:

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

Por lo que obtienes:

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

Si haces la gráfica se ve que esta función ajusta muy bien los puntos dados:

RE: Ecuaciones Diferenciales Solución de Ecuación Exponencial

 

Discípulo Respuesta escrita el 29 de noviembre de 2018.
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