Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

Hola!

Estoy intentando el siguiente ejercicio: demostrar que si, para una f dada una función u es el mínimo del siguiente funcional:

Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

entonces satisface la siguiente ecuación diferencial:

Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

Da también la siguiente pista: coger variaciones con una función \phi arbitraria de integral nula y después sustituir esta \phi por:

Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

He intentado igualar la función a 0 con una variación \phi de integral cero y me da:

Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

No sé muy bien cómo sacar conclusiones de esta igualdad. ¿Se pueden igualar a cero todas las integrales? ¿Y la pista cómo se puede aplicar?

Gracias!!

 

Novato Enviada el 15 de enero de 2019 a Ecuaciones diferenciales con derivadas parciales.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola:

La igualdad que tienes solo vale para funciones con integral cero, pero si usas la pista puedes conseguir funciones de integral cero arbitrarias que te servirán para luego igualar cosas a cero. La integral de la función de la pista es:

RE: Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

Es decir, que puedes sustituir la phi que tenías en tu expresión por una función de este tipo para cualquier psi. Te salen bastantes términos y tienes que ir desarrollándolos. Uno se cancela porque la f tiene integral cero y otros dos se cancelan después de aplicar el teorema de la divergencia (teniendo en cuenta que el laplaciano es la divergencia del gradiente):

RE: Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

Ahora hay dos términos, y hay que hacer un razonamiento similar al que se hace en cálculo de variaciones muchas veces: dos términos en general que sumen cero no tienen por qué ser cero por separado. La clave está en que al ser para toda psi, escogemos psis adecuadas para demostrar que necesariamente cada uno tiene que ser cero.

  • Para el primer término escogemos una funciones de soporte compacto, es decir, que sean cero en la frontera y así anulen el segundo término, que es precisamente una integral en la frontera. El teorema fundamental del cálculo de variaciones nos dice que eso asegura que el primer integrando tiene que ser cero.

RE: Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

  • Una vez que el primer término ya sabemos que es cero nos queda que el segundo es igual a cero. Como vale para todas las psis C infinito en la frontera, otra vez podemos asegurar que el integrando es cero:

RE: Equivalencia sistema EDPs a problema de minimización

El primer término nos da la ecuación diferencial en sí, y el segundo nos da la condición de frontera de Neuman.

Un saludo!

Discípulo Respuesta escrita el 17 de enero de 2019.
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