Evaluar la integral doble

Hola!

Si dibujamos la región vemos que hay un par de puntos de corte entre ambas gráficas que la delimitan:

Podemos calcular qué puntos son igualando las ecuaciones:

El área se puede dividir entre un trozo, A, que está antes del cruce de la parábola con la recta, y el trozo que queda después, B:

La integral en toda la región D se puede separar en la suma de las integrales en A y en B. Pero como la función es 4y³ vemos que en la región A la función es positiva por encima del eje x y justo de signo contrario por debajo, con lo que la integral total es cero. En otras palabras, da 0 porque es una función impar en y y el área es simétrica respecto al eje x. Por tanto, queda:

Para calcular la integral en la región B podemos integrar con la x entre 4 y 9 y la y moviéndose entre la recta y la parte de arriba de la parábola:

Un saludo!