Exponencial de matrices

Hola! Estoy intentando hacer este ejercicio

Exponencial de matrices

El primero lo entiendo más o menos, pero para los siguientes no se supone que la forma de Jordan es diagonal con unos encima? No sé cuál es la fórmula de la exponencial para esas matrices. Alguna ayuda? Gracias.

Novato Enviada el 15 de enero de 2020 a Matrices.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola!

En primer lugar supongo que cuando dices exponencial de matrices te refieres a etA, es decir, la solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo asociado a la matriz A.

Tienes razón al decir que los bloques de Jordan están formados por valores propios en la diagonal y unos encima. El problema viene cuando estos valores propios son complejos, ya que en este caso lo que aparece en la diagonal son valores propios complejos. En el caso de que estemos tratando con matrices reales los valores propios siempre vienen en pares conjugados (supón que en la diagonal van uno detrás de otro). En este caso existe lo que se llama forma real de Jordan: los bloques de 2×2 que contienen dos valores propios conjugados en diagonal se cambian por bloques que en la diagonal tienen la parte real del valor propio fuera de la diagonal tienen la parte imaginaria, con una de las entradas cambiada de signo. Es decir, en el caso de tu matriz B el primer bloque 2×2 proviene de un bloque diagonal en los complejos de valor propio 2+3i y 2-3i-. Los unos de encima de la diagonal se cambian por matrices identidad de 2×2 que se ponen encima de los bloques 2×2. Es el caso de la matriz C, que tiene tres bloques 2×2 correspondientes a los valores propios 2+3i y 2-3i y dos bloques de unos por encima.

Dicho esto, hay que saber cómo se calcula la exponencial de cada uno de estos bloques. Realmente hay que aprender la exponencial de un bloque de Jordan normal y luego la forma de un bloque complejo es igual en estructura (aunque cambian algunos detalles). Voy a poner cómo se hace la exponencial en bloques 4×4 porque tienen suficientes elementos como para que se vea bien el patrón. La técnica siempre es: se separa la matriz en la suma de una matriz diagonal y una matriz con unos encima de la diagonal. Se aplica que la exponencial de la suma es la multiplicación de exponenciales (en este caso se puede hacer porque la diagonal conmuta con cualquier matriz; la conmutación de matrices hace falta para aplicar esta propiedad), y se calcula la exponencial de cada una de estas partes. Por último, se multiplican.

  • Bloque real: el bloque real genérico es:

RE: Exponencial de matrices

Siguiendo el procedimiento, la exponencial será:

RE: Exponencial de matrices

La exponencial de la diagonal es la diagonal de exponenciales. La exponencial de la parte de los unos viene dada por:

RE: Exponencial de matrices

  • Bloque complejo: el bloque complejo genérico es:

RE: Exponencial de matrices

Ten en cuenta que en este caso la dimensión es 8, aunque se estructura como una matriz del caso anterior de 4×4 porque la mitad de los valores complejos está determinada por tener que ser conjugada de la otra mitad. De hecho, si lo escribimos de la siguiente manera verás que funciona igual que el otro caso:

RE: Exponencial de matrices

Aplicando el método de separar diagonal y parte de arriba de diagonal:

RE: Exponencial de matrices

La diferencia es que ahora la diagonal está formada por bloques 2×2, con lo que, aunque se sigue cumpliendo lo de «exponencial de diagonal es diagonal de exponenciales», la exponencial de un bloque 2×2 hay que conocerla. Y los bloques de este tipo dan exponenciales con senos y cosenos. Respecto a la parte de los unos funciona igual, solo que en vez de unos hay identidades. Si luego cada identidad la sustituyes por lo que toca tienes la expresión extendida final:

RE: Exponencial de matrices

Dicho esto, la solución al ejercicio que planteas es:

  • Matriz A. Los bloques son:

RE: Exponencial de matrices

Por tanto, la exponencial es:

RE: Exponencial de matrices

  • Matriz B. Los bloques son:

RE: Exponencial de matrices

Y la exponencial:

RE: Exponencial de matrices

  • Matriz C. Los bloques son:

RE: Exponencial de matrices

Y la exponencial, que queda un poco farragosa, es:

RE: Exponencial de matrices

RE: Exponencial de matrices

 

Espero que se entienda! Saludos!

Discípulo Respuesta escrita el 21 de enero de 2020.
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