Funciones continuas

Buenos días. He encontrado esta página a través de Facebook y me he animado a lanzar una pregunta. Ayer estudiando Cálculo me encontré con una función me dejó perpleja. En mis apuntes de clase no veo nada parecido, pero hay un problema en la colección de ejercicios de la asignatura y me da miedo que aparezca en el examen.

El enunciado dice: Estudiar la continuidad de

Funciones continuas

La función está definida de forma diferente en los racionales y en los irracionales. ¿Cómo se estudia la continuidad de una función así? ¿Cómo se calcula el límite?

Muchas gracias y felicidades por la página y por la ayuda que ofrecen.

Estudiante Enviada el 19 de enero de 2018 a Continuidad 1 variable.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola Elisabeth. Bonito avatar.

Se trata de una función de Dirichlet. Su gráfica sería más o  menos como esta:

RE: Funciones continuas

Es fácil ver a partir de la gráfica que la función sí es contínua en x0 =0 pero no lo es en el resto de puntos.

Para demostrarlo matemáticamente tienes que utilizar la definición de continuidad.

Para un punto x≠ 0  es fácil ver que el límite no existe ya que si te acercas al punto x0 “caminando” sobre los racionales la función siempre vale 0 y el límite te dará cero. En cambio si te acercas a x0 “caminando” sobre los irracionales entonces la imagen la tienes que hacer con f(x)=x  el límite te dará x0, con x≠ 0. Eso quiere decir que el límite no existe porque si existiera, te acerques como te acerques al punto x el resultado debería ser siempre el mismo. Y si el límite no existe, la función no es contínua.

Para x0 = 0 la cosa cambia. Ahora da igual de qué forma la “x” esté tendiendo a x0 = 0 que la función siempre te obliga a ir hacia y=0, y por eso el límite en este caso sí existe y su valor vale 0. Como además coincide con la imagen, la función sí es contínua en 0.

Si necesitas más rigurosidad matemática tendríamos que utilizar la definición de límite (el límite es L si y sólo si para todo epsilon existe una delta tal que  bla, bla bla…) , pero salvo que estés estudiando una carrera de matemáticas puras o una super-ingeniería no creo que te exijan algo así en un examen.

Espero haberte ayudado.

Chao !



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 20 de enero de 2018.

Mucho, me has ayudado mucho. En las clases no nos han calculado límites utilizando la definición, tengo la definición, pero no la utiliza, así que si sale alguna función parecida en el examen lo podré justificar como me propones, que ya es mucho. Gracias.

Elisabeth Estudiante el 20 de enero de 2018.
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