Hacer uso de regla de cadena y evaluar

Buenas!

Lo primero para aplicar la regla de la cadena es tener muy claro el diagrama de composición de funciones. En este caso tenemos la función w y una dependencia de las variables en t que podemos considerar una curva en el espacio llamada γ. Al componer la función w con la curva γ obtenemos una función de una variable, w(γ(t)), que es la función de la que hay que calcular la derivada:

Se puede aplicar la regla de la cadena en los puntos t en los que γ(t) es diferenciable y en los que w(γ(t)) es diferenciable. Podemos ver que esta última condición se cumplirá siempre ya que las derivadas parciales de w son continuas en todas partes, por lo que w es diferenciable en todo su dominio:

Respecto a γ, como es una función vectorial de una variable, es diferenciable si y solo si cada componente es diferenciable. Cada componente es una función de una variable, con lo que ser diferenciable es igual a ser derivable en el sentido de una variable. Ninguna de las funciones tiene problemas de derivablidad, ya que el 0, al haber un logaritmo, no está en el dominio. El 0 sería el único punto problemático, dado que la raíz no es derivable en 0 y el logaritmo tiene una asíntota. Por tanto, si t>0, es derivable. En resumen se puede aplicar la regla de la cadena para todo t>0 y se cumple:

La diferencial de γ es:

La diferencial de w es el vector dado por sus parciales:

Pero para sustituirla en la fórmula hay que evaluarla en γ(t), por lo que sustituimos x, y y z por sus respectivos valores en función de t:

Por tanto, la derivada final es:

Para hallar la derivada en 1 podemos sustituir en la expresión anterior, o bien aplicar nuevamente la regla de la cadena. Si aplicamos la regla de la cadena la diferencial de γ tenemos que calcularla en t=1, mientras que la de w hay que evaluarla en el punto γ(1)=(2,0,π). Así,

Y, finalmente,

Un saludo.