Integral con teorema de residuos

Hola!

Estoy revisando ejercicios del teorema de los residuos y me he encontrado con esta integral

Integral con teorema de residuos

En la resolución tengo que hay que usar la integral de la función con complejos en una curva tipo

Integral con teorema de residuos

Se supone que hacemos tender el radio pequeño (épsilon) a cero y el radio grande a infinito y que solo quedan las partes que se alinean con el eje x. Lo que no entiendo es por qué no se cancelan esas partes si son la misma integral pero con sentido contrario. Debería dar:

Integral con teorema de residuos

Tampoco sé cómo se puede demostrar que la integral en el círculo de radio épsilon tiende a cero. Debajo aparece un denominador con (z^2+1) y sé que se puede acotar superiormente por |z|^2+1, pero si está en el denominador acotarlo superiormente no sirve porque da algo más pequeño.

Integral con teorema de residuos

Ayuda, porfa!! 🙂

Novato Enviada el 10 de octubre de 2018 a Números Complejos.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola!

Este tipo de caminos de integración se utilizan para funciones que tienen un punto de ramificación, que en tu caso es la raíz cúbica. Resulta que si tú “das vueltas alrededor del cero”, tu número complejo va cambiando de forma cíclica y al dar una vuelta has vuelto al estado original, mientras que la raíz cúbica, al “girar tres veces más lento”, cambia de valor. Es muy sencillo de entender escribiendo el número en polares. Si añades 2 pi al argumento, el número que representa es el mismo, pero su raíz es diferente:

RE: Integral con teorema de residuos

Por eso, cuando épsilon tiende a cero y gamma uno y gamma dos se solapan, la función en gamma dos gana un factor e^(i*2 pi/3), y el signo negativo por tener el sentido contrario.  De hecho, me parece que te has dejado el signo negativo delante de e^(i*2 pi/3).

Respecto a la demostración de que tiende a cero la integral en el círculo pequeño, como bien dices no te sirve la típica desigualdad triangular |z+w|<=|z|+|w|. Igual que hay una cota superior para la suma, también hay una cota inferior: |z+w|>=||z|-|w||. Parece más complicada porque tiene dos valores absolutos, pero lo único que dice es que en el peor de los casos los dos complejos apuntan en direcciones opuestas y por tanto sus argumentos se restan. En este dibujo puedes ver tres casos de la adición de complejos: el primero es el caso en el que el módulo es más grande, que corresponde a la cota |z+w|<=|z|+|w|; el segundo corresponde a un caso intermedio; y el tercero es el caso en el que el módulo es lo más pequeño posible, donde se restan los módulos, y corresponde a ||z|-|w||

RE: Integral con teorema de residuos

Un saludo

Estudiante Respuesta escrita el 15 de octubre de 2018.
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