Integrales Triples

Hola como están disculpen,me podrían ayudar con estos ejercicios de integrales?

Representar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas,expresar su volumen como una integral triple

A)x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0

D)36x^2+9y^2+4z^2=36

Me gustaría resolverlas por el método de cambio de variables ya que me es más sencillo entender,me ayudarían?se los agradeceré!!

Novato Enviada el 1 de junio de 2018 a Integrales triples.
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2 Respuesta(s)

Solución

Hola

El volumen A está delimitado por el plano x+2y+3z=6 y los tres planos coordenados. El recinto es entonces como una especie de pirámide. En este caso no te conviene hacer un cambio de variable. Puedes resolverla con cartesianas:

RE: Integrales Triples

RE: Integrales Triples

 

El volumen B es lo que queda dentro de un elipsoide (una pelota de rugby).

RE: Integrales Triples

Este problema es más difícil. Tendrás que hacer una cambio de variable utilizando coordenadas elípticas.

Si cortas el elipsoide con el plano z=0 te queda la elipse 36x2 +9y2 =36 que puedes reescribir para identificar sus semiejes así

RE: Integrales Triples

Para resolverlo tienes que hacer un cambio de variable que sustituya la x y la y cartesianas por unas elípticas que nos recorrar esa región elíptica de color rojo

RE: Integrales Triples

Ahora ya puedes plantear la integral (calculamos el volumen que hay desde el “suelo” (z=0) hasta el elipsoide y lo multiplicamos por 2

RE: Integrales Triples

y ahora expresamos al elipsoide de forma coherente con nuestro cambio de variable y el orden de integración escogido

RE: Integrales Triples

así que, salvo error por mi parte, que lo he hecho muy rápido, te queda esto:

RE: Integrales Triples

Espero que te sirva

Saludos

 



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 1 de junio de 2018.
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Hola

Para el volumen B se me ocurre otra posibilidad.

Reescribir el elipsoide así

36x2 +9y2  + 4 z2 =36

(6x)2 +(3y)2  + (2z)2 =36

ahora hacer el cambio de variable

6x = u
3y = v
2z = w

y a continuación utilizar unas esféricas para recorrer el nuevo volumen, que es una esfera centrada en el (0,0,0) y de radio 6

u2 +v2  + w2 =36

Son dos cambios de variable, pero así evitas las elípticas.

Ciao

Maestro Respuesta escrita el 3 de junio de 2018.
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