Integrales Triples
Hola como están disculpen,me podrían ayudar con estos ejercicios de integrales?
Representar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas,expresar su volumen como una integral triple
A)x+2y+3z=6,x=0,y=0,z=0
D)36x^2+9y^2+4z^2=36
Me gustaría resolverlas por el método de cambio de variables ya que me es más sencillo entender,me ayudarían?se los agradeceré!!
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Solución
Hola
El volumen A está delimitado por el plano x+2y+3z=6 y los tres planos coordenados. El recinto es entonces como una especie de pirámide. En este caso no te conviene hacer un cambio de variable. Puedes resolverla con cartesianas:
El volumen B es lo que queda dentro de un elipsoide (una pelota de rugby).
Este problema es más difícil. Tendrás que hacer una cambio de variable utilizando coordenadas elípticas.
Si cortas el elipsoide con el plano z=0 te queda la elipse 36x2 +9y2 =36 que puedes reescribir para identificar sus semiejes así
Para resolverlo tienes que hacer un cambio de variable que sustituya la x y la y cartesianas por unas elípticas que nos recorrar esa región elíptica de color rojo
Ahora ya puedes plantear la integral (calculamos el volumen que hay desde el «suelo» (z=0) hasta el elipsoide y lo multiplicamos por 2
y ahora expresamos al elipsoide de forma coherente con nuestro cambio de variable y el orden de integración escogido
así que, salvo error por mi parte, que lo he hecho muy rápido, te queda esto:
Espero que te sirva
Saludos
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Hola
Para el volumen B se me ocurre otra posibilidad.
Reescribir el elipsoide así
36x2 +9y2 + 4 z2 =36
(6x)2 +(3y)2 + (2z)2 =36
ahora hacer el cambio de variable
6x = u
3y = v
2z = w
y a continuación utilizar unas esféricas para recorrer el nuevo volumen, que es una esfera centrada en el (0,0,0) y de radio 6
u2 +v2 + w2 =36
Son dos cambios de variable, pero así evitas las elípticas.
Ciao
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