Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

Buenas tardes.

Quisiera saber cómo resolver este límite de manera analítica, solo de manera analítica sin recurrir a explicaciones gráficas o de referencia al recorrido de la función arcotangente etc o similar. He buscado en Internet y simplemente no se consigue la solución analítica ni en español ni en otro idioma.

Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

Novato Enviada el 3 de abril de 2019 a Límites 1 variable.
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1 Respuesta(s)

Hola:

Se puede ver cuál es el valor del límite utilizando que es una función creciente y acotada; pero antes hay que definir la función con precisión para evitar la típica ambigüedad de las funciones inversas de las trigonométricas. Para poder definir una función inversa es necesario que la función sea inyectiva. Este no es el caso en la función tangente, ya que es periódica con periodo pi:

RE: Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

En cualquier intervalo de longitud pi con uno de los extremos abiertos, la función es inyectiva, ya que el seno y el coseno tienen los mismos valores al sumar pi medios pero van con signos distintos hasta que se completa el ciclo de pi, que es cuando los dos signos se invierten y por tanto la tangente vuelve al mismo valor. Dentro de cualquier intervalo semiabierto de longitud pi hay necesariamente un múltiplo impar de pi medios. En este punto, la tangente tiene una asíntota, por lo que no está definida en ese punto dado que el coseno vale 0. Por tanto, la tangente inyectiva es:

RE: Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

Esta función sí que es inyectiva, y como también es sobreyectiva, ya que los límites por la izquierda y por la derecha al punto asintótico son más y menos infinito. Por tanto, es biyectiva y admite una inversa. Así se define la arcotangente:

RE: Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

Como nosotros decidimos qué intervalo de definición de la tangente se coge para hacerla inyectiva, podemos seleccionar que el extremo sea precisamente el múltiplo impar de pi medios y dejar el extremo izquierdo del intervalo abierto, de manera que no hay un punto en medio del dominio que haya que quitar. Si hacemos esto, tenemos:

RE: Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

Como la función original es continua en todo el intervalo, ahora la función inversa también es continua. Y como la función original tiene derivada estrictamente positiva en todo el intervalo, la función inversa también tiene derivada estrictamente positiva:

RE: Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

Por lo tanto, la función es estrictamente creciente, por lo que el límite cuando tiende a menos infinito tiene que ser el extremo inferior de la imagen. Si cogemos cualquier épsilon se cumple:

RE: Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

Si llamamos M a este valor, usando que es una función creciente tenemos:

RE: Límite de arcotangente de x cuando x tiende al menos infinito

Por tanto, pi/2+k*pi es el límite. Normalmente se coge k=-1 y se toma entre menos pi medios y pi medios, con lo que en este caso el límite sería menos pi medios.

No sé si te ha convencido, espero que un poco sí! Los argumentos son cualitativamente diferentes a cuando tienes una función que es, por ejemplo, un cociente de polinomios o una exponencial o cosas así, porque este límite es un “límite puro”, o sea, es analizar el comportamiento de una función directamente. El motivo por el que es ineludible hacer referencias al recorrido o el dominio es porque la propia definición de la arcotangente es ambigua si no se define en qué intervalo te mueves. Pero en cualquier caso, definas como definas el intervalo, el límite siempre es un múltiplo impar de pi medios.

Un saludo.

Ayudante Respuesta escrita el 4 de abril de 2019.
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