Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Me podrían ayudar con el siguiente problema?

Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Novato Enviada el 11 de marzo de 2019 a Funciones n variables.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola:

Este problema es bastante largo e incluye bastantes cálculos; espero no haberme equivocado en algún detalle. Se puede hacer de la siguiente manera:

  • Calcular cuál es el volumen de un plano oblicuo delimitado por x=0, y=0 y z=0
  • Calcular cuál es el plano tangente al elipsoide en función de x, y, z.
  • Optimizar la función anterior restringida al elipsoide usando multiplicadores de Lagrange.

Para calcular el volumen de un plano creo que lo más fácil es hacerlo en función de qué puntos de corte tiene con los ejes, porque así es más fácil sacar su ecuación e integrarla.  Podemos llamar a, b, c a los puntos donde corta los ejes:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

La ecuación de este plano es z=c-(c/a)x+(c/b)y. Podemos integrar primero en x, de 0 a y después en y, de 0 a la línea recta que va de a a b (para cubrir toda la región). La ecuación de esta recta es b-b/a*x. Por tanto, el volumen será:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

El plano tangente a una superficie dada implícitamente mediante una ecuación es el que tiene como vector normal el gradiente de la ecuación de la superficie y que pasa por ese punto. Recuerda que un plano con vector normal (A,B,C) se puede expresar implícitamente con la ecuación Ax+By+Cz+D=0, y la constante D se halla sustituyendo el valor de un punto por el que pasa el plano. Es un poco lío porque tenemos la x,y,z que ahora serán las variables que definen el plano y otro conjunto de tres números que definen el punto del elipsoide que estamos mirando. Vamos a llamar al punto del elipsoide u, v, h. El gradiente del elipsoide en ese punto es:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Usando la ecuación del plano y sustituyendo el x y y z por u, v, h (para imponer que pase por el punto u, v, h) tenemos una expresión para D. El trozo que es igual a 1 es justamente la propia ecuación del elipsoide, y como u, v, h es un punto del elipsoide se cumple que esa expresión es igual a 1.

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Ahora que ya tenemos el plano con la ecuación implícita podemos calcular los puntos en los que corta los ejes para poder aplicar la fórmula del volumen. Simplemente es sustituir y=0 y z=0 para el hallar en qué x corta al eje x, etc. El dibujo de ese plano sería el siguiente:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Por tanto, si utilizamos la fórmula anterior del volumen, vemos que solo tenemos que multiplicar los tres puntos de corte y dividirlos por 6, de manera que la fórmula del volumen es:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Recapitulando, ahora tenemos el volumen del plano tangente al punto u, v, h del elipsoide como función de u, v, h. Es decir, tenemos una función de tres variables pero cuyos valores solo tienen sentido restringidos a los puntos del paraboloide. Por tanto, la situación es: minimizar una función de tres variables restringida a una superficie dada por una ecuación (cambio los puntos u, v, h por x, y, z para tener la notación de funciones de siempre).

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Es, por tanto, la situación en la que usamos multiplicadores de Lagrange. La manera más clara de enunciar el método de los multiplicadores de Lagrange para mí es: buscar un punto de la superficie en el que el gradiente de la función sea paralelo al gradiente de la propia superficie. Esto nos da las dos condiciones usuales: la ecuación de que los gradientes sean paralelos y de que el punto esté en la superficie:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Haciendo los cálculos el sistema de ecuaciones que hay que resolver es:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Si dividimos la primera entre la segunda y la primera entre la tercera obtenemos relaciones de x con y y de x con z quitándonos de en medio lambda:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Ahora podemos sustituir estos valores de y y de z en función de x en la primera ecuación para obtener una relación entre x y lambda:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Como el sistema tiene exactamente la misma forma respecto a x, y y z, tenemos la misma ecuación para y y para z cambiando la a por b y c respectivamente:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Si sustituimos esto en la última ecuación:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

Esto nos da una expresión para la raíz que tiene la lambda, que podemos sustituir en las expresiones de x, y y z para obtener los puntos en los que se produce el mínimo. El valor del volumen mínimo vendrá dado por la evaluación de la función en ese punto:

RE: Máximos y mínimos con multiplicadores de Lagrange

¡Espero que esté más o menos claro!

Discípulo Respuesta escrita el 12 de marzo de 2019.
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