Necesito ayuda en el problema 8, me la dejaron llegue hasta la los valores propios.

Hola:

Creo que te estás liando con una cosa. Tienes que tener en cuenta lo siguiente:

Si consideras tu espacio vectorial sobre los complejos, el polinomio característico siempre podrás factorizarlo con raíces complejas. Es decir, para un espacio vectorial sobre los complejos siempre tendrás forma canónica de Jordan  o forma diagonal (esto dependará, como siempre, de las multiplicidades vs. dimensión de los espacios propios). Sin embargo, si estás en los reales, puede que no puedas factorizar el polinomio característico. En este caso no existe la forma de Jordan ni la forma diagonal. Sin embargo, como si lo consideras como un espacio vectorial complejo sí que puedes encontrar una forma canónica, se puede hacer una transformación para conseguir una forma diferente parecida a la de Jordan llamada forma canónica real de Jordan. Esta forma siempre existe, ya que se construye a partir de la forma de Jordan en base compleja, que siempre existe.

En este problema te piden la forma de canónica real de Jordan, que es de la forma que te han puesto en el comentario anterior. Por eso pone un subíncide R y tiene dos parámetros: fíjate que aprecen a y b, frente a los bloques de Jordan que salen en tu foto, que solo tienen un parámetro J(lambda,…).

Dicho esto, para calcular esta forma real lo que tienes que hacer es:

• Calcular la forma canónica de Jordan sobre los complejos. Esto te da una base de vectores.
• Los vectores que tengas estarán en pares de conjugados:  elimina los que son conjugados de otro y coge su parte real y su parte imaginaria. Como has eliminado los conjugados te quedas con la mitad; sin embargo, como coges parte real e imaginaria vuelves a tener el mismo número de vectores que antes. Estos vectores reales forman la base que buscas.

Te dejo aquí la solución que he hecho yo. Para los cálculos y resolver los sistemas de ecuaciones he usado esta página: https://matrixcalc.org/en/slu.html Está superbién porque suficientemente complicado es lo de la forma de Jordan como para estar equivocándose todo el rato en cálculos, jejeje.

Espero que esto te ayude. Un saludo.