Norma en espacio vectorial con producto interno



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Supongo que z1 y z2 son las partes real e imaginaria respectivamente de z. Es decir, z=z1+z2i. Con esta aclaración, utilizaremos la identidad del paralelogramo para resolver el ejercicio que dice lo siguiente:

Sea V un espacio vectorial complejo con producto interno. Denotemos por ||·|| a la norma inducida por el producto interno. Entonces se cumple la siguiente igualdad:

||z+w||2+||z-w||2=2(||z||2+||w||2) para toda z, w en C

Solución: Supongamos que ||·|| es inducida por un producto interno en C. Entonces esta norma debe cumplir la identidad del paralelogramo, pero si consideramos z=1+0i y w=1+1i, tenemos que

||z||=1                    ||w||=1                        ||z+w||=2           y           ||z-w||=1

y así

||z+w||2+||z-w||2=22+12=5

2(||z||2+||w||2)=2(12+12)=4

De manera que ||z+w||2+||z-w||2≠2(||z||2+||w||2), es decir no cumple la identidad del paralelogramo. Por lo tanto, no existe ningún producto interno que induzca esta norma.

Espero aún te sirva, saludos.

Novato Respuesta escrita el 19 de julio de 2020.
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