Otra integral triple, con un parámetro

Hola de nuevo !!!

Este problema me estresa. Demasiados parámetros, no acabo de entender qué me están pidiendo.

Dado el paraboloide de ecuación z=a-x^2-y^2 y el plano z=λ con 0<λ<1, sea V(A) el volumen del paraboloide comprendido entre su vértice y dicho plano y V(B) el comprendido entre el plano dado y el plano xy. Determinad λ para que se satisfaga que V(A)=k V(B)

Agradezco sugerencias para plantearlo.

 

Estudiante Enviada el 9 de mayo de 2018 a Integrales triples.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola de nuevo Elisabeth

Te hago un dibujo que te ayudará a plantear el problema

RE: Otra integral triple, con un parámetro

Fíjate que según la altura λ a la que esté colocado ese plano horizontal los volúmenes V(A) y V(B) van cambiando. El problema pretende que ajustemos λ para que V(A)=kV(B). Lógicamente el valor de λ acabará dependiendo de k.

Yo calcularía el volumen V(A) con cilíndricas. Hallas la circunferencia de corte entre paraboloide y plano e integras de 0 a 2π el ángulo, la r desde 0 hasta el radio de esa circunferencia y la z desde el plano z=λ hasta el paraboloide.

Luego calcularía el volumen que hay por debajo de todo el paraboloide, desde z=0 hasta él, porque será más fácil calcular V(B) restando a ese volumen el ya hallado V(A) que hallar V(B) directamente.

Cuando ya tengas V(A) y V(B) impones que V(A)=kV(B) y a partir de esa ecuación podrás despejar λ.

Los volúmenes calculalos con una integral triple de un 1 !!!!

Saludos



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 14 de mayo de 2018.

Vale ! Lo intento. Si no lo consigo pediré auxilio otra vez 😅

Elisabeth Estudiante el 15 de mayo de 2018.
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