PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS PARA 3 PERSONAS
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Hola:
La manera que se me ha ocurrido es contemplar los sucesos «al menos n personas cumplen años el mismo día» como unión de sucesos. Por ejemplo, que al menos dos cumplan es la unión de que cumplan justo 2 el mismo día, justo 3, justo 4, etc. Como estos sucesos son disjuntos (no puede ser que coincidan exactamente 3 y al mismo tiempo exactamente 4), la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades:
Se puede aplicar lo mismo al suceso «al menos tres personas cumplen años el mismo día», y así se relaciona con el anterior:
Por tanto tenemos que calcular la probabilidad de que justo dos personas cumplan años el mismo día. Primero suponemos que son los dos primeros los que coinciden. En este caso, la segunda persona no tiene más que una opción para «seleccionar cumpleaños», mientras que para el resto las posibilidades se van reduciendo:
Pero las posibles coincidencias que hay son iguales a las maneras de coger dos personas del grupo de n. Por ejemplo, pueden coincidir de la siguiente manera, entre otras:
Por tanto, para contar todas las posibilidades tenemos que multiplicar por el número de configuraciones para estas coincidencias, de manera que:
Por tanto, podemos restar esto a la fórmula de la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día y obtenemos el resultado:
Espero que más o menos se entienda. La verdad es que de la multiplicación por el número combinatorio no estoy totalmente convencido: mi intuición me dice que tiene que ser así, pero sé que a veces la primera intuición falla en este tipo de problemas. En todo caso, creo que el argumento general es correcto y espero que te sirva 🙂
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Hola, muchas gracias por contestar. Yo también había planteado inicialmente así la resolución, sumando las probabilidades de que exactamente cumplan 3, 4, etc. Pero yo creo que estamos equivocados . Mi explicación es que por ejemplo cuando 3 coinciden en un día del año y otras personas también coinciden en otro día del año, entonces este supuesto no entra en que «coincidan exactamente 3» y por tanto tampoco entra en la condición inicial del problema: «que al menos 3 coincidan en el día de cumpleaños». Imagina que 3 personas cumplen el 3 de Abril , 2 personas el 5 de Mayo y el resto de las 23 personas en días diferentes del año, entonces este supuesto no entra en ninguno de los de tu planteamiento y sí que tiene que ser tenido en cuenta. Como te digo yo también pensé al principio así. A ver si alguien más se anima a aportar algo. Un saludo
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Hola:
Tienes toda la razón. La estructura de sucesos es más compleja. De todas maneras, el suceso de «coinciden al menos dos» se puede seguir viendo como la suma de «coinciden exactamente 2», y «coinciden exactamente 3» etc.; lo que habría que cambiar es la interpretación de estos sucesos.
Por ejemplo, coinciden exactamente dos tendría que interpretarse como: hay dos personas que cumplen años el mismo día y no hay ningún grupo de personas de tres o más personas que cumpla años el mismo día. Pero claro, este suceso es mucho más complejo del cálculo que yo he puesto ya que podría ser, por ejemplo: solo hay una pareja de coincidencias (esto es lo que yo he puesto); hay dos parejas que coinciden con fechas diferentes; hay tres parejas que coinciden con fechas diferentes; etc.
Según esta interpretación, el suceso que planteas sería «coinciden exactamente tres», ya que «coinciden exactamente tres» significaría: hay al menos un grupo de tres personas con el mismo cumpleaños y no hay ningún grupo de 4 o más personas con el mismo cumpleaños.
Creo que quizás dándole vueltas se podría calcular «coinciden exactamente 2» de la siguiente forma: si se tiene en cuenta cuántas parejas se pueden formar, cuántas combinaciones de fechas de coincidencias se pueden dar entre las parejas que coinciden etc. Si este cálculo se hiciera correctamente la fórmula de P(al menos 2 coinciden)-P(exactamente 2 coinciden) sería correcta.
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