Parametrizar una circunferencia «torcida»

Hola

Hay varias formas de hacerlo, pero te voy a explicar una que se basa en una forma de razonar que puedes utilizar en muchos tipos de curvas.

Damos por hecho que tenemos una curva definida como la intersección de dos superfícies. Tú hablas de una superfície esférica y un plano. Yo te voy a hacer un ejemplo con un paraboloide y un plano. Podrás seguir el mismo razonamiento para tu curva.

Tenemos entonces una curva definida así:

x²+y²=z

-2x-2y+2z=1

En esta gráfica puedes ver cómo se produce el corte entre ambas superfícies.

Lo que te propongo es que busques la proyección de esa curva contra el plano (x,y). Si esa proyección resulta ser una curva conocida podremos crear fácilmente las dos primeras componentes de la parametrización (la x(t) y la y(t)). Después iremos a por la z(t).

Por ejemplo para nuestra curva, la proyección contra el plano (x,y) tiene pinta de ser una circunferencia desplazada. Podemos hallarla. Para crear la proyección de la curva contra el plano (x,y) despejamos la z de cada una de las dos superfícies

z=x²+y²

z=(1/2)(1+2x+2y)=1/2 + x + y

y las igualamos entre ellas

z=z

x²+y² = 1/2 + x  + y

que podemos arreglar de esta forma

x² + y²  – x – y= 1/2

y reescribirla hasta darle la forma típica de una circunferencia desplazada:
(x-a)²+(x-b)²=R²

x²  -x + y²  – y= 1/2

x²  -x + 1/4 – 1/4 + y²  – y + 1/4 – 1/4= 1/2

(x-1/2)² + (y-1/2)² = 1/2 + 1/4 + 1/4

(x-1/2)² + (y-1/2)² = 1

así que se trata de una circunferencia que puedes parametrizar así

( x(t), y(t) ) = ( cost + 1/2 , sint + 1/2 )

Esas serán las dos primeras componentes de la parametrización de nuestra curva

r(t) = ( x(t), y(t), z(t) )=( cost + 1/2 , sint + 1/2 , z(t) )

Nos falta la z(t). Las z de los puntos de nuestra curva las podemos crear tanto con la expresión del plano como con la expresión del paraboloide. Con el plano más fácil.

Como z=1/2 + x + y

sustituimos la «x» y la «y» por las dos componentes x(t) e y(t) ya creadas y tenemos

z(t) = 1/2 + x(t) + y(t) = 1/2 + cost + 1/2 + sint + 1/2 = cost + sint + 3/2

Y por lo tanto r(t) = ( x(t), y(t), z(t) )=( cost + 1/2 , sint + 1/2 , cost + sint + 3/2 )

Pues eso mismo se puede hacer para parametrizar tu circunferencia. Casi seguro que la proyección te queda una circunferencia desplazada.

Pruébalo y me cuentas.

Saludos