Polinomio de Taylor

Hola !!!

Me piden el polinomio de Taylor de la función 1/cos2x   en 0, de grado 4.

No creo que se tenga que calcular con la fórmula, derivando, pero no se me ocurre qué propiedad utilizar.

¿Alguna ayuda?

Saludos

Estudiante Enviada el 8 de enero de 2018 a Taylor 1 variable.
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2 Respuesta(s)

Buenas tardes,

para calcular el polinomio de Taylor de f(x)=1/cos2x sin calcular las derivadas se me ocurre que podrías obtener el polinomio por comparación con el polinomio de Taylor de la tangente.

En los libros de fórmulas aparecen los desarrollos de Taylor de funciones comunes. Allí puedes encontrar el de la tangente:

RE: Polinomio de Taylor

Dado que 1/cos2x es precisamente la derivada de la tangente, entonces la derivada n-ésima de la tangente será la derivada de un grado menor (n-1) de 1/cos2x. Por lo tanto, a partir de los términos del polinomio de Taylor de la tangente podrás ir hallando las derivadas de 1/cos2x en cero.

Por ejemplo, el coeficiente del término con x3 del polinomio de Taylor de tan(x) será la tercera derivada de la tangente en cero dividido por el factorial de tres. De esta igualdad encuentras el valor de la tercera derivada de tan(x) en cero, que sabes que coincidirá con el valor de la segunda derivada de 1/cos2x en cero.

Por un procedimiento análogo, analizando los términos del polinomio de Taylor de la tangente, irás obteniendo los valores de las derivadas de 1/cos2x, con los que después podrás construir el polinomio de Taylor.

Yo lo he hecho de este modo:

RE: Polinomio de Taylor

¡No significa que sea la única manera! 🙂 De hecho puedes calcular el polinomio directamente calculando las derivadas para comprovar que el resultado es el mismo.

P.D. En algunos libros muestran las series de Taylor sin operar los valores de las derivadas con los factoriales de los denominadores, por lo que en este caso todavía sería más simple, puesto que los valores de las derivadas de tan(x) en cero aparecerían de forma explícita.

Estudiante Respuesta escrita el 8 de enero de 2018.

Gracias Oscar !!!   Escojo la respuesta de Lauel como solución a mi pregunta porque la veo más sencilla, sin necesidad de utilizar derivadas ni presuponer que sabemos de memoria el Taylor de la tgx.

Gracias de todas formas por tu ayuda.

olvidosilvia Estudiante el 10 de enero de 2018.
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Solución

Hola

Lo que propone OscarHR es correcto.

Yo te propongo otra forma de hacerlo. Es un método que no tiene nombre, lo podríamos bautizar ahora mismo como el método de los coeficientes indeterminados.

La idea es darle al polinomio de Taylor que estamos buscando un aspecto genérico

RE: Polinomio de Taylor

y a continuación centrarnos en buscar el valor de los coeficientes del polinomio creando un sistema de ecuaciones.

Sí, son 5 letras/incógnitas, pero como la función 1/cos2x  es PAR su Taylor desarrollado en x=0 tendrá sólo potencias pares, así que

RE: Polinomio de Taylor

y ya sólo nos quedan tres coeficientes

RE: Polinomio de Taylor

Ahora se trata de hallar el Taylor del  cos2x y colocarlo abajo dividiendo (lo puedes crear fácilmente multiplicando el Taylor del cosx de grado 4 con él mismo y truncando a grado 4 para obtener  1-x2+x4/3 )

RE: Polinomio de Taylor

Ahora ya sólo tienes que pasarlo multiplicando a la derecha (truncando siempre a grado 4)

RE: Polinomio de Taylor

y considerar que tienes dos polinomios que quieren ser iguales. Los reescribes

RE: Polinomio de Taylor

e igualas sus coeficientes

RE: Polinomio de Taylor

Ahora ya sólo queda resolver un pequeño sistema 3×3 muy sencillo. Te dejo que lo hagas tú. Y verás que llegarás a la misma solución a la que ha llegado OscarHR.

Un saludo !

 

 



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 8 de enero de 2018.
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