Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

  • Hoy toca la banda del pueblo, pero anda revuelta y no saben cómo situarse. Si se ponen de 4 en 4, sobra Pepe. Si se sitúan de 3 en 3, sigue sobrando Pepe, y si se ponen de 2 en 2, el pobre Pepe queda solo.

Al final el director se compadece de Pepe y los pone de 5 en 5 para que no sobre.

¿Cuántos músicos componen la banda si se sabe que Pepe, en la lista por orden alfabético de los componentes de la banda, hace el número 35, y que el número de músicos de ésta no llega a 100?

Novato Enviada el 7 de marzo de 2020 a Matemática discreta.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola:

Este problema se puede formular mediante el sistema de ecuación de congruencias:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Por ejemplo, la primera ecuación se lee «x es igual a 1 módulo 4″, y significa que el resto de dividir x entre 4 es 1. Estas cuatro ecuaciones contienen exactamente la información del problema. Una vez formulada la ecuación hay que resolverla. Si no conoces un procedimiento te recomiendo que mires esta página: explica primero cómo se resuelve una ecuación con módulos y después cómo se extiende esto a un sistema.

Primero empezamos por la ecuación (4), la más sencilla, que nos dice que x es un múltiplo de 5. Ten en cuenta que siempre que se resuelven estas ecuaciones hay infinitas soluciones, ya que, en el caso de módulo 5, por ejemplo, sumar un múltiplo de 5 no afecta el resultado.

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Si sustituimos este resultado en la ecuación (3) obtenemos lo siguiente:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Esto nos da una nueva ecuación que tenemos que resolver. Ahora en este paso hay que recordar la identidad de Bézout: si tenemos dos números que no tienen divisores comunes, b, por ejemplo, existen dos enteros ky k2 tales que k1a+k2b=1. En nuestra ecuación, 5 y 2 no tienen divisores comunes, o sea, m.c.d.(5,2)=1. Por tanto, podemos encontrar los dos enteros que satisfagan esta ecuación. En este caso se puede hacer «a ojo» ya que es muy fácil. De ahí podemos despejar:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Como la ecuación nos pregunta «qué número multiplicado por 5 da 1 módulo 2», tenemos, en vista de lo anterior, que el 1 cumple esa propiedad. Como siempre, tenemos que añadir múltiplos de dos para conseguir la solución general:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Cuidado porque estábamos hallando la k de la primera ecuación, no la x. Por tanto, volviendo a la expresión en x y sustituyendo el valor de k tenemos:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Esta expresión de x ya cumple las ecuaciones (3) y (4). Seguimos sustituyéndola en las otras para hallar qué valores de k1 necesitamos. Cogemos la ecuación dos y restamos 5 a ambos lados: esto nos da una expresión en función de k1:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

O sea que ahora tenemos que resolver

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Igual que antes, tenemos el 10 y el 3, que no tienen divisores comunes. Por tanto, buscamos los números que nos dan la identidad de Bézout, que vuelven a ser sencillos:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Pero como ahora no queremos que sea igual a 1 sino a 2, hacemos el truco de multiplicar todo por 2:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Por tanto,

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Nuevamente tenemos que recopilar toda la información que tenemos sobre x:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Por último cogemos la primera ecuación y restamos 25 a cada lado para poder sustituir lo que tenemos:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Como 30 y 4 tienen el 2 como divisor común podemos dividir toda la ecuación, y nos queda:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Una solución, que se puede buscar a ojo, es 2, de manera que la solución general es:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Por tanto, volviendo a sustituir en la expresión de la x tenemos:

RE: Por favor, alguien que me pueda ayudar a resolver este problema, por medio de ecuación

Como nos dan la restricción de que el valor tiene que ser mayor de 35 y menor que 100, el único valor que cumple esto es x=85.

 

¡Un saludo!

Maestro Respuesta escrita el 19 de marzo de 2020.
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