Pregunta teórica (de esas que parecen imposibles)

Hola Joseba

A ver si te lo puedo explicar rápido.

Si A ∈ M _nxm  podemos considerar que es la matriz de una aplicación lineal f que va de f:R^m → Rⁿ

y por lo tanto que cumplirá que

dim R^m  =  dimKerf + dim Imf

m = dimKer A + rang A

Por otro lado  A^T ∈ M _mxn y por lo tanto será la matriz de otra aplicación lineal g con g:Rⁿ → R^m

y que por lo tanto cumplirá

dim Rⁿ  =  dimKerf + dim Imf

n = dimKer A^T + rang A^T

Como sabemos que rang A= rang A^T , podemos afirmar que

m – dimKer A = n – dimKer A^T

(el lado izquierdo lo he despejado de m = dimKer A + rang A y el lado derecho de n = dimKer A^T + rang A^T  )

que podemos volver a reescribir así

m – n  = dimKer A – dimKer A^T

Como el enunciado dice que m≠n entonces el lado izquierdo de la igualdad es ≠ 0  y por lo tanto el lado derecho también, así que

dimKer A – dimKer A^T ≠ 0

dimKer A  ≠ dimKer A^T 

La respuesta correcta es la c).

Vaya problemita !!!!!  Espero que me hayas entendido.

Saludos