Pregunta teórica (de esas que parecen imposibles)
Creo que llevo bien la asignatura, pero cuando me encuentro con preguntas así empiezo a dudar:
Muchas gracias por vuestra ayuda
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Solución
Hola Joseba
A ver si te lo puedo explicar rápido.
Si A ∈ M nxm podemos considerar que es la matriz de una aplicación lineal f que va de f:Rm → Rn
y por lo tanto que cumplirá que
dim Rm = dimKerf + dim Imf
m = dimKer A + rang A
Por otro lado AT ∈ M mxn y por lo tanto será la matriz de otra aplicación lineal g con g:Rn → Rm
y que por lo tanto cumplirá
dim Rn = dimKerf + dim Imf
n = dimKer AT + rang AT
Como sabemos que rang A= rang AT , podemos afirmar que
m – dimKer A = n – dimKer AT
(el lado izquierdo lo he despejado de m = dimKer A + rang A y el lado derecho de n = dimKer AT + rang AT )
que podemos volver a reescribir así
m – n = dimKer A – dimKer AT
Como el enunciado dice que m≠n entonces el lado izquierdo de la igualdad es ≠ 0 y por lo tanto el lado derecho también, así que
dimKer A – dimKer AT ≠ 0
dimKer A ≠ dimKer AT
La respuesta correcta es la c).
Vaya problemita !!!!! Espero que me hayas entendido.
Saludos
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