Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos
Sea ƒx (x ) =1/2{θΙ ( 0, 1 ) ( x ) + Ι [ 1, 2 ] ( x ) + ( 1 − θ ) Ι ( 2, 3 ) ( x )} donde θ es una constante que satisface 0 ≤ θ ≤ 1
a) Encuentre la función de distribución acumulativa de X
b) Encuentre la media, varianza y mediana de X
c) Determine la función generadora de momentos de X
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Solución
Hola!
a) La gráfica de la función de densidad para un valor θ es la siguiente:
Para calcular la función de probabilidad acumulada hay que calcular el área bajo la función de densidad hasta cierto punto dado. En cada intervalo (del 0 al 1, del 1 al 2 y del 2 al 3) la altura de la función es constante, por lo que el área será la distancia en x multiplicada por esa altura. Además, para valores por encima del intervalo (0,1) y [1,2] hay que sumar toda el área de los correspondientes rectángulos, que ya habremos dejado atrás. Por tanto, hay que dividir la función en tres partes, y la expresión queda:
b) Para la esperanza y varianza utilizamos la definición. Como la densidad de probabilidad contiene funciones características de tres intervalos, las integrales se dividen en tres trozos:
Para la varianza necesitamos calcular primero E[x2]:
Por tanto,
En cuanto a la mediana, tenemos que encontrar el valor de x que da 1/2 en la función de probabilidad acumulada. Si calculamos F(1) vemos que F(1)=θ/2, con lo que F(1) solo será 1/2 si θ=1. En el caso que θ<1 el valor estará en el siguiente intervalo:
c) Para la función generadora de momentos utilizamos la definición y calculamos la integral separándola en intervalos, al igual que antes:
Un saludo.
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