Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

Sea ƒx (x ) =1/2{θΙ ( 0, 1 ) ( x ) + Ι [ 1, 2 ] ( x ) + ( 1 − θ ) Ι ( 2, 3 ) ( x )} donde θ es una constante que satisface 0 ≤ θ ≤ 1
a) Encuentre la función de distribución acumulativa de X
b) Encuentre la media, varianza y mediana de X
c) Determine la función generadora de momentos de X

Novato Enviada el 9 de abril de 2020 a Probabilidad.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola!

a) La gráfica de la función de densidad para un valor θ es la siguiente:

RE: Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

Para calcular la función de probabilidad acumulada hay que calcular el área bajo la función de densidad hasta cierto punto dado. En cada intervalo (del 0 al 1, del 1 al 2 y del 2 al 3) la altura de la función es constante, por lo que el área será la distancia en x multiplicada por esa altura. Además, para valores por encima del intervalo (0,1) y [1,2] hay que sumar toda el área de los correspondientes rectángulos, que ya habremos dejado atrás. Por tanto, hay que dividir la función en tres partes, y la expresión queda:

RE: Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

RE: Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

b) Para la esperanza y varianza utilizamos la definición. Como la densidad de probabilidad contiene funciones características de tres intervalos, las integrales se dividen en tres trozos:

RE: Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

Para la varianza necesitamos calcular primero E[x2]:

RE: Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

Por tanto,

RE: Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

En cuanto a la mediana, tenemos que encontrar el valor de x que da 1/2 en la función de probabilidad acumulada. Si calculamos F(1) vemos que F(1)=θ/2, con lo que F(1) solo será 1/2 si θ=1. En el caso que θ<1 el valor estará en el siguiente intervalo:

RE: Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

c) Para la función generadora de momentos utilizamos la definición y calculamos la integral separándola en intervalos, al igual que antes:

RE: Probabilidad distribución acumulativa, función generadora de momentos

Un saludo.

Maestro Respuesta escrita el 15 de abril de 2020.
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