Problema de ecuaciones diferenciales

Este semestre tengo un profe muy divertido en Mates 2. Nos ha propuesto este problema. Si lo entrego antes del viernes me suma un puntito !!!!

Dice el enunciado:

Presidente y Ministro reciben  idénticas tazas de café e idénticas tacitas con leche fría. El presidente espera 10 minutos, a continuación le echa la leche fría y se toma el café. El Ministro echa a su café la leche fría justo cuando les sirven los cafés, después se espera 10 minutos y también se toma el café. ¿Quién se lo toma más caliente?

El problema tiene gracia, está claro que va de temperaturas, pero no sé cómo plantearlo.

¿Una ayudita plis? 😁Gracias

Estudiante Enviada el 3 de octubre de 2018 a Ecuaciones diferenciales 1er orden.
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2 Respuesta(s)

😂😂😂

Vaya problema.

Yo intuitivamente diría que es el ministro el que se lo toma más caliente. Pero habrá que resolver la ecuación diferencial de las temperaturas. Una pregunta. ¿El enunciado no dice nada de qué ocurre cuando dos líquidos de temperaturas diferentes se mezclan entre ellos? ¿Cuál se supone que es la temperatura final? Si me lo dices igual puedo ayudarte. Tendremos que resolver esto

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

y aplicar a cada uno su condición inicial. Y luego calcular en t=10. Falta el detalle de la temperatura final de la mezcla de líquidos, que no sé como hacerlo.

Estudiante Respuesta escrita el 4 de octubre de 2018.

¡Si!  Dijo en clase que la temperatura queda como la resta de temperaturas. Entiendo que si el café está a 60º y la leche a 20º entonces la mezcla quedaría a 40º

olvidosilvia Estudiante el 5 de octubre de 2018.
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Solución

Hola

Anxo daba buenas directrices, pero como no ha acabado de resolver el problema, lo voy a hacer yo. Lo primero que hay que hacer es resolver la ecuación diferencial que modela la variación de la temperatura:

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

Como se trata de una ecuación de variables separables su resolución es muy sencilla y se obtiene como solución esta función

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

Ahora vamos a aplicar las condiciones iniciales. Vamos a empezar con el presidente. Llamo T0 a la temperatura a la que sirven el café y con ese dato calculamos el valor del parámetro A de la solución general de la ecuación diferencial

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

así que la función que nos da la temperatura del café el presiente es esta

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

y ahora podemos calcular su valor al cabo de 10 minutos

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

Llega el momento de añadirle la leche. Se supone que instantáneamente la temperatura baja tantos grados como la Tleche, es decir, que en el momento 10+ de llevarse el café a la boca el presidente tiene su café a esta temperatura

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

 

Le toca al ministro. Como él le añade la leche al principio su temperatura inicial será T0-Tleche. Si seguimos el mismo proceso que para el presidente obtendremos la temperatura del café del ministro a los 10 minutos

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

Ya sólo falta comparar las dos temperaturas. Intuitivamente parece que el ministro se lo ha de tomar más caliente porque cuanta más masa tiene un cuerpo más cuesta cambiar su temperatura y él le añade la leche al principio. Vamos a intentar demostrar entonces que

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

Ahora sólo hace falta operar con paciencia

RE: Problema de ecuaciones diferenciales

¿Y es verdad o es mentira que α<0? La temperatura del café está disminuyendo y por lo tanto la exponencial que hemos creado al resolver la ecuación diferencial debe ser decreciente. Eso quiere decir que α<0 y por lo tanto nuestra suposición es correcta: el ministro se lo toma más caliente.

Buenísimo el problema.

Saludos    



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 23 de octubre de 2018.
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