Problema de optimización

Buenossss díasssss !!!!!!!   Yo te ayudo.

Fíjate en este dibujo

El punto P está sobre la parábola. Si lo cambiamos (siempre sobre la parábola) entonces cambiará la recta tangente, con ella los puntos de corte A y B y con ellos la longitud del segmento AB.

El problema exige que encontremos la posición del punto P para conseguir que esa distancia sea mínima.

Fácil.

Si P=(a,b) entonces la recta tangente a la parábola en P es  y-b=(-2a)(x-a).

El punto de corte con el eje x es (A,0) así que 0-b=(-2a)(A-a) así que  A= a+(b/2a)

El punto de corte con el eje y es (0,B) así que B-b=(-2a)(0-a) así que B=b+2a^2

La distancia entre (A,0) y (0,B) es

que es la función que tenemos que minimizar.

Si cambias A por a+(b/2a) y B por b+2a^2  te quedará una función que depende de dos variables a y b. Pero recuerda que P es un punto de la parábola y por lo tanto cumple su expresión, de ahí que b=7-a^2  lo que nos permite poner b en función de a o a en función de b. Como piden la ordenada entonces pon mejor la a en función de b.

Una vez sustituido todo te quedará una función que sólo dependerá de b. Esa función es la distancia que tenemos que minimizar. Ahora ya sólo tienes que derivar, igualar a cero, etc….

Te dejo ese trabajo para tí, que esto se está haciendo muy largo. Y revisa mis cálculos, que lo he escrito todo muuuuuuuuy rápido.

Que pases un bonito día.

🙂