Problema desconcertante

He encontrado un curioso problema en un examen. Dice:

¿Qué es más grande  eπ o πe ?  Indicación: utilizar la función f(x)=xex.

Está claro que hay que utilizar la indicación, pero ¿cómo?

Salu2

Estudiante Enviada el 27 de diciembre de 2017 a Máximos y mínimos 1 variable.
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1 Respuesta(s)

Solución

Buenas tardes,

La función f(x)=xe·e-x puede escribirse en forma fraccionaria: f(x)=xe/ex. De manera que para un cierto valor de x del dominio, si f(x)>1, significa que el numerador es mayor que el denominador, por lo que xe > ex. Análogamente, si f(x)<1, entonces xe < ex.

Para resolver el problema basta con ver en que intervalos del dominio f(x)>1 y en cuales f(x)<1, y ver a cuál pertence π.

Para estudiar la función puede graficarse con un graficador de funciones, lo que musetra una función con dominio positivo y cuyas imágenes habitan en el intervalo 0 ≤ f(x) ≤ 1, valiendo 0 sólo en el caso x=0 y valiendo 1 sólo en el caso x=e. Por lo tanto, 0 < f(π) < 1, por lo que, de lo que vimos al principio, πe < eπ.

Por lo tanto, eπ es mayor que πe.

¡Espero haberte ayudado!

P.D. Sin un graficador de funciones el estudio de la función puede realizarse por la derivada, hallando su único máximo en x=e, y evaluando f(e), que da 1. Por lo tanto f(x)<1 para valores diferentes a e.

RE: Problema desconcertante

RE: Problema desconcertante

https://www.saladeestudio.org/wp-content/uploads/2017/12/20171227_193449.jpg[/img

 

Estudiante Respuesta escrita el 27 de diciembre de 2017.
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