Raiz de un numero con indice par

Tengo dos dudas, cuando se tiene una raíz con indice par se escoge el el resultado positivo, esto es por convención o porque es una regla. La otra duda era si se podían tener raíces con indices negativos (mi profesor de Algebra dice que no), yo creo que la raíz se puede pasar a su forma de potenciación y como el exponente es negativo, se baja así que solo quedaría la raiz abajo de la fracción con indice positivo (no sé si eso sea correcto).

Novato Enviada el 21 de junio de 2019 a Aritmética.
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1 Respuesta(s)

Hola Raúl.

Existe cierta confusión con el tema de las raíces.

La clave está en que se confunde aplicar la función raíz a un número concreto con resolver ecuaciones cuadráticas o cúbicas que obligan a aplicar raíces a ambos lados de la igualdad para despejar la “x” . Son dos cosas diferentes.

Imagina que tienes un número “x”. Considera por ejemplo que x=4. Si a ese número le aplicas la función

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

obtienes como resultado

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

En este caso no tiene ningún sentido poner delante del resultado un ±. Estamos ejecutando la función

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

Otra cosa es que sustituyamos x=4 en la función

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

siendo en este caso el resultado

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

aunque como ves el signo del resultado viene con la función, no aparece por “magia potagia”.

Otra cosa diferente es cuando tienes que resolver ecuaciones del estilo

x2 = 1

o

x3=1

 

Vamos con la primera y empezamos resolviéndola mentalmente, por pura lógica aritmética.

Buscamos números misteriosos “x” que cumplen que al elevarlos al cuadrado tienen que dar 1. Es evidente que hay dos números que cumplen eso, x=1 y x=-1, porque el cuadrado “se come” el signo. Por lo tanto

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

¿Cuál es la forma estricta matemáticamente para llegar a esa conclusión? Partimos de una ecuación

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

Para despejar la “x” es necesario deshacerse de ese exponente cuadrático y para ello ejecutamos una función raíz cuadrada a ambos lados

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

y por lo tanto quedará

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

No se pone ningún ± en ningún sitio. No tiene sentido. ¿Por qué íbamos a hacerlo? Simplemente ejecutamos raíces a ambos lados y ahora calcularemos el resultado de esa función al ejecutarla a los números o expresiones que tenemos a cada lado de la igualdad.  Y ahora es cuando muchos estudiantes —e incluso profesores que no saben muy bien lo que están explicando — te dicen que la raíz cuadrada se va con el cuadrado – ¡mentira!— y hacer aparecer el famoso ± en el lado derecho. Mal. Mal. Muy mal. No se hace así.

¿Cómo se hace bien hecho? A la izquierda de la igualdad se tiene que introducir una función valor absoluto y utilizar que

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

quedando entonces

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

y como el valor absoluto es una función que devuelve el número que tiene dentro siempre en versión positiva, es decir, se sabe que |1|=1 y que |-1|=1, se tiene que

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

Esa es la forma correcta de hacerlo. Cualquier alternativa — esos signos ± misteriosos que algunos profesores nos dicen que tenemos que poner, a veces sí, a veces no, y de ahí la confusión e inseguridad de muchos estudiantes— no son más que una forma muy discutible de regatear la verdadera forma de proceder. ¿Por qué lo hace así? Pues porque para hacerlo bien hecho se tiene que explicar con profundidad la función valor absoluto y eso no es plato de buen gusto para muchos profesores.

¿Qué pasa con la otra ecuación?

Si tenemos

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

entonces buscamos números misteriosos “x” que cumplen que al elevarlos al cubo nos tiene que dar 1. Es evidente que ahora el número x=-1 no nos sirve. La única solución es x=1.

¿Cómo se resolvería de forma estricta?  Ejecutamos a ambos lados la función raíz cúbica

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

cuya gráfica es

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

y que por lo tanto está definida en todos los “x” reales devolviendo valores positivos para las x>0 y valores negativos para x<0. Ya no tenemos ningún motivo para introducir el valor absoluto. A la izquierda de la igualdad sí que podemos considerar que que “la raíz cúbica se va con el exponente cúbico” para toda “x” y a la derecha de la igualdad la raíz cúbica de 1 es 1 (mira la gráfica) quedando entonces

 

RE: Raiz de un numero con indice par

 

La clave como ves, está en que cuando el exponente de la potencia — y el índice de la raíz—son pares debemos tener en cuenta que el exponente par “se come el signo” del número “x”, por eso no se puede simplificar sin más y debemos poner el valor absoluto a la “x”. En cambio si son impares sí que se puede simplificar el exponente de la potencia con el índice de la raíz.

Y una última cosa. Con respecto a las raíces de índice par de números negativos: en los números reales no tiene sentido calcularlas —fíjate de nuevo en la gráfica de la función raíz cuadrada de “x” y verás que su dominio son sólo las x mayor o igual que cero — pero sí se pueden calcular si en vez de utilizar el cuerpo de los números reales se utiliza el de los números complejos. ¿Tiene sentido calcular la raíz cuadrada de -1? En los reales no, en los complejos sí. Si en el nivel de matemáticas en el que estás ahora todavía no te han explicado los números complejos, entonces no puedes calcularlo. En el momento en el que lo hagan verás como sí podrás hacerlo.

Espero que se haya entendido.

Ciao !

 

Maestro Respuesta escrita el 21 de junio de 2019.
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