Relación rectas tangentes y plano tangente
Nos han explicado que una superficie puede tener en un punto infinitas rectas tangentes, en cualquier dirección, pero a pesar de eso no tener plano tangente. ¿Cómo es eso posible? ¿No formarían todas las rectas un plano que sería el plano tangente?
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Solución
Hola Silvia
La relación entre las rectas tangentes y el plano tangente es la siguiente:
Si existe el plano tangente en un punto (porque la función es diferenciable en él) entonces también existen todas las rectas tangentes (todas las derivadas direccionales en el punto para toda dirección), y en ese caso, las rectas tangentes están contenidas en el plano tangente.
Lo contrario no tiene por qué ser cierto. Es decir, pueden existir todas las rectas tangentes en un punto y para toda dirección (existen todas las derivadas direccionales para toda dirección) pero no existir el plano tangente. Esto es así porque todas esas rectas tangentes no tienen por qué ser coplanarias, es decir, no tienen por qué formar un plano entre ellas.
Luego, puede ocurrir que existan todas las rectas tangentes (existen todas las derivadas direccionales) y que no exista plano tangente (que la función no sea diferenciable).
Si no te convence te busco una función a la que le pase eso.
Ciao !
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Esta función
no es diferenciable en (0,0) porque ni siquiera es contínua (el límite no existe: por la recta y=x da 0 y por la parábola y=x2 da 1/2). Si no es diferenciable en (0,0) no puede tener plano tangente en (0,0,f(0,0))=(0,0,0).
En cambio sí tiene derivadas direccionales para toda dirección (v1,v2). Si las calculas por definición en (0,0) sale: v12/v2 si v2≠0 y 0 si v2=0.
Por lo tanto existe la pendiente de la recta tangente para toda dirección, osea, existen todas las rectas tangentes a f en (0,0,f(0,0))=(0,0,0).
Matemáticamente no hay discusión posible.
Otra cosa es que cueste imaginárselo.
A ver si encuentro un programa que se capaz de sacar la gráfica de esa función. Si lo consigo te la adjunto.
Ciao !
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