Series con criterio de raíz y cociente ambiguo

  Resuelta

Hola!

Aquí estamos otra vez, ahora con series y sumas infinitas… Tengo el siguiente ejercicio

Series con criterio de raíz y cociente ambiguo

He intentado aplicar los criterios de la raíz y el cociente pero o me dan ambiguo (dan 1) o da un límite que no sé ni cómo calcular… Qué otro criterio se puede aplicar?

Novato Enviada el 4 de octubre de 2018 a Series numéricas.
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1 Respuesta(s)

Solución

¡Hola!

Los problemas de series son de mis favoritos, así que espero poder ayudarte.

En la primera serie el criterio del cociente, como bien dices, da uno y por tanto no nos da ninguna conclusión. Un comentario que puede venir bien tener claro es que el criterio del cociente es más fuerte que el de la raíz; es decir, si existe el límite de a_{n+1}/a_{n}, entonces el límite de la raíz enésima también existe y es igual. O sea, tiene sentido utilizar el criterio de la raíz cuando por la forma en concreto de la sucesión es más fácil aplicarla. Por ejemplo, en el apartado b (aunque luego resulta que también falla…)

Dicho esto, creo que la mejor manera de resolver esta serie es mediante comparación. Recuerda que se puede comparar usando una serie mayor que converja

RE: Series con criterio de raíz y cociente ambiguo

o se puede comparar mediante límite de cocientes:

RE: Series con criterio de raíz y cociente ambiguo

En este caso vamos a hacerlo con una desigualdad con una serie convergente. Fíjate que el denominador tiene la potencia n^2, que sabemos que en series asegura la convergencia. Siempre que sea n^p con p>1 estrictamente, entonces tendremos convergencia. Por lo tanto, digamos que esa parte converge. En el numerador tenemos un logaritmo, que se opone a esa convergencia porque tiende a infinito. Aquí es donde conviene tener un poco de conocimiento sobre órdenes de infinito. Seguramente habrás visto alguna vez una explicación sobre la jerarquía de infinitos, aunque muchas veces no se le da la importancia que debería a este concepto, porque realmente da una visión de lo que va a pasar y da un punto de partida para luego intentar demostrarlo. En este caso podemos usar que un logaritmo es un infinito de orden inferior al de cualquier potencia, es decir, n^p, con cualquier p. Intuitivamente podemos aprovechar esto para pensar que el logaritmo no tiene “ni siquiera la fuerza de n^(1/2)”. Como debajo tenemos n^2 y arriba algo “que no llega a n^(1/2)” el total es más convergente que 1/n, con lo cual sabemos que convergerá. Para demostrarlo con un criterio podemos comparar el logaritmo con una potencia que no sea lo suficientemente alta como para cargarse la convergencia del 1/n^2. Por ejemplo:

RE: Series con criterio de raíz y cociente ambiguo

Recuerda que esta comparación sólo es relevante cuando n tiende a infinito. Y como la raíz de n es un infinito de orden superior al logaritmo, llega un punto en el que la raíz es mucho mayor que el logaritmo.

Fíjate que si, probando, coges otra potencia, verás que no llegas a ningún resultado:

RE: Series con criterio de raíz y cociente ambiguo

Si dices “mi serie es más pequeña que otra que tiende a infinito” ¡no puedes sacar ninguna conclusión!

Respecto al apartado b, creo que has caído en un clásico de los errores de series: empezar a aplicar criterios y a intentar determinar si converge o no, pasando por alto el detalle de si la sucesión que se suma tienede a cero! En tu caso:

RE: Series con criterio de raíz y cociente ambiguo

Si lo piensas tiene toda la lógica del mundo que si sumas infinitas veces algo que tiende a una cantidad que no tiende a cero, como es e^{-100}, tendrás infinito. La única manera de contrarrestar la infinitud de los sumandos para obtener un resultado finito es tendiendo a cero la magnitud de los propios sumandos (¡de una manera suficientemente rápida!).

Estudiante Respuesta escrita el 4 de octubre de 2018.

Gran respuesta, rmgMath   👏👏👏

Gracias por ayudar.

Ocap Moderador el 5 de octubre de 2018.
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