Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

Solucionar el siguiente limite sin utilizar la regla de Hopital cuando x tiende a zero:

lim (tan x -sen x)/(x sen^2 (2x) )

,

a ver si me podeis dar alguna pista, muchas gracias.

Novato Enviada el 13 de enero de 2019 a Continuidad 1 variable.
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2 Respuesta(s)

Hola Oriol

Yo lo haría con Taylor. Doy por hecho que conoces los Taylor de la tgx y del sinx.

Te lo resuelvo “a lo ingeniero”. Si lo quieres más estricto y riguroso tendríamos que añadir algo que simbolice el error, por ejemplo, una “o pequeña”. Si lo necesitas con “o pequeñas” y no sabes cómo hacerlo me dices, sería muy parecido a esto:

RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

Saludos

 

Maestro Respuesta escrita el 13 de enero de 2019.
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Hola! Básicamente, una forma de hacerla es desarrollarla utilizando las siguientes proposiciones (identidades y límites trigonométricos comúnes):

RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

Intenta primero desarrollarla utilizando las primeras dos identidades de arriba (sale muy fácil), a la siguiente expresión:

RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

Ahora, debido a que el límite de productos se puede descomponer como el producto de límites, entonces vemos: si x tiende a cero, entonces sin(x)/x tiende a uno y lo podemos “cancelar”. Luego, el cos(x) en el denominador realmente no está causando problemas ya que cos(0)=1, por lo cual lo cancelamos. Queda al final:

RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

En ese caso, lo que se hizo fue realizar una pequeña multiplicación por “uno” (16x^2 / 16x^2), para aprovechar el límite trigonométrico de arriba. Ahora bien, desarrollando un poco, descomponiendo un poco y separando el producto en un producto de límites, se obtiene:

RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

Si u=4x, entonces:

RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

Donde finalmente:

RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

Y listo! Espero que te haya ayudado de algo. Me he de imaginar que existen muchos otros métodos, pero este fue el que encontré de forma más rápida.

Estudiante Respuesta escrita el 13 de enero de 2019.
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