Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

Hola Oriol

Yo lo haría con Taylor. Doy por hecho que conoces los Taylor de la tgx y del sinx.

Te lo resuelvo «a lo ingeniero». Si lo quieres más estricto y riguroso tendríamos que añadir algo que simbolice el error, por ejemplo, una «o pequeña». Si lo necesitas con «o pequeñas» y no sabes cómo hacerlo me dices, sería muy parecido a esto:

Saludos

Hola! Básicamente, una forma de hacerla es desarrollarla utilizando las siguientes proposiciones (identidades y límites trigonométricos comúnes):

Intenta primero desarrollarla utilizando las primeras dos identidades de arriba (sale muy fácil), a la siguiente expresión:

Ahora, debido a que el límite de productos se puede descomponer como el producto de límites, entonces vemos: si x tiende a cero, entonces sin(x)/x tiende a uno y lo podemos «cancelar». Luego, el cos(x) en el denominador realmente no está causando problemas ya que cos(0)=1, por lo cual lo cancelamos. Queda al final:

En ese caso, lo que se hizo fue realizar una pequeña multiplicación por «uno» (16x^2 / 16x^2), para aprovechar el límite trigonométrico de arriba. Ahora bien, desarrollando un poco, descomponiendo un poco y separando el producto en un producto de límites, se obtiene:

Si u=4x, entonces:

Donde finalmente:

Y listo! Espero que te haya ayudado de algo. Me he de imaginar que existen muchos otros métodos, pero este fue el que encontré de forma más rápida.