soluciones maximales del pvi

hola por favor ayudenme con esto , ya hice lo demas , solo me faltan estas 4 , por ejemplo en la pregunta 16 , 18 y 19 se hallar su solucion del pvi , pero como hallo las soluiones e intervalos maximales? , y los intervalos de solucion? , no entiendo eso

soluciones maximales del pvi

Novato Enviada el 8 de noviembre de 2018 a Ecuaciones diferenciales 1er orden.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola

Te explico cómo tienes que hacerlo.

  • Primero resuelves la ecuación diferencial.
  • Le aplicas la condición inicial y obtienes una solución particular del PVI (suponiendo que exista y sea única)
  • Ahora falta asociarle a esa solución particular su dominio maximal para crear la solución maximal. Si tienes una condición inicial y(x0)=y0 el dominio maximal empezarás a crearlo desde x=x0 prolongando el intervalo hacia la derecha y hacia la izquierda de x0 con alegría hasta que, quizás, te encuentre con dos tipos de puntos que te harán parar y reflexionar:

RE: soluciones maximales del pvi

  • ¿Cuáles son esos puntos en los que tendrás que parar y reflexionar?  Son dos tipos de puntos: (1) puntos donde no se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, y (2) puntos que será imposible superar por el propio dominio de la solución obtenida.

 

  • (1) Para identificar los puntos tipo (1) comprueba las condiciones del teorema de existencia y unicidad. Si existe algún punto, por ejemplo con coordenada x=x1, en el que el teorema NO te asegura la existencia y unicidad, y tu solución para por ese punto, entonces tendrás que comprobar qué ocurre realmente con tu PVI en ese punto aplicando esa condición problemática a tu solución general. Si concluyes que la solución ahí es única, entonces es la tuya, y puedes seguir prolongando el intervalo maximal superando ese punto. Si por el contrario, concluyes que en ese punto la solución no es única o no existe, entonces te tienes que parar en esa x1.

 

  • (2) Para identificar los puntos tipo (2) tienes que analizar el dominio de la solución particular que has obtenido al resolver el PVI. Si, por ejemplo, mientras vamos prolongando nos topamos con una asíntota vertical de la función, pues difícilmente vamos a poder superarla. Por ejemplo, si la condición inicial está en x=1 y nuestra solución tiene una asíntota en x=2, pues podrás prolongar hacia la derecha desde x=1 pero cuando llegues a x=2 será imposible seguir y el intervalo maximal acabará en 2 (abierto) por la derecha.

 

Te resuelvo un ejemplo. Si lo entiendes, serás capaz de resolver los problemas que nos envías.

RE: soluciones maximales del pvi

Ahora vamos a por el intervalo de la solución maximal. Como la condición inicial es y(1)=1 empezamos a prolongar desde x=1.

RE: soluciones maximales del pvi

Como la solución obtenida y=x2 tiene como dominio todos los reales, no hay puntos (2).

Compruebo ahora las condiciones del teorema de existencia y unicidad:

RE: soluciones maximales del pvi

y concluyo que si la condición inicial tiene un 0 en la coordenada x entonces el teorema no nos asegura que por ahí pase una única solución.

Compruebo que mi solución particular y=x2 sí pasa por x=0, exactamente pasa por el punto (0,0) ya que si x=0 la función vale 0

RE: soluciones maximales del pvi

así que ahora toca mirar qué soluciones tienen realmente el PVI si la condición inicial es y(0)=0

RE: soluciones maximales del pvi

y concluyo que en ese caso la solución NO es única. Eso quiere decir que si sigo prolongando no puedo estar seguro de que vaya a estar todavía en mi solución original y=x2 y eso me obliga a pararme.

La solución maximal es entonces y=x2 con intervalo maximal  [0,+∞)

Si no entiendes algo, escribe un comentario en mi respuesta.

Saludos

 



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 9 de noviembre de 2018.

hola gracias por la respuesta , mmm esas condiciones del teorema de existancia y unicidad q pones no las he visto , me enseñaron que son 2 , que f sea continua y que cumpla que f es lipschitziana , por que le pones esa segunda condicion de la derivada parcial?

esteban14 Novato el 9 de noviembre de 2018.

Hola

Supongo que debes estar estudiando un grado/carrera de matemáticas y te habrán explicado el auténtico teorema de Picard, el de la constante de Lipschitz.

En ingeniería se suele utilizar una versión que rebaja la exigencia de las condiciones matemáticas a costa de perder la equivalencia y quedarnos con una implicación:

RE: soluciones maximales del pvi

Saludos

Lauel : ) Maestro el 10 de noviembre de 2018.
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