Tª de Schwarz. ¿Nos la ha colao 😂 ?

Hola.

Por mucho que busco no encuentro ninguna función f(x,y) que no cumpla el Tª de Schwarz, osea, una función f(x,y) con parciales cruzadas diferentes. ¿Seguro que no nos la ha colado el señor Schwarz  y realmente las cruzadas siempre coinciden?

¿Alguien conoce alguna?

 

Estudiante Enviada el 13 de marzo de 2018 a Diferenciabilidad n variables.
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2 Respuesta(s)

Solución

Hola.

Para encontrar un ejemplo de función cuyas parciales segundas cruzadas sean diferentes es imprescindible recurrir a una función definida a trozos.

Aquí tienes una:

RE: Tª de Schwarz. ¿Nos la ha colao 😂 ?

Las parciales segundas cruzadas de esta función en el (0,0) no coinciden.

Primero tienes que construir las parciales primeras en todo punto y luego calcular las parciales segundas en (0,0) por definición. Si la haces verás que dan 1 y -1.

Un saludo



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Ayudante Respuesta escrita el 20 de marzo de 2018.

Graciassss MatesMan !!!!  👏👏👏👏👏

Ahora sí me creo que el teorema tiene sentido 😉

Dori Estudiante el 21 de marzo de 2018.
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Hola,

El teorema de Schwarz o de Clairaut (el gran olvidado) afirma precisamente eso:

Si, dada una función, existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en el conjunto abierto donde existe la función, entonces dichas derivadas son iguales.

Por lo tanto, las cruzadas, siempre que existan y sean continuas, van a coincidir, claro. Es condición suficiente. Para que no coincidieran en algún punto, tendrían que presentar alguna discontinuidad o directamente no existir. Entonces, el teorema ya no aplicaría porque no se cumpliría la condición.

¡Saludos!

Estudiante Respuesta escrita el 14 de marzo de 2018.

Gracias. Entiendo lo que dice el teorema. El tema es… ¿alguien conoce alguna función que no tenga parciales cruzadas iguales entre ellas?  Esa es mi curiosidad. Pero es sólo curiosidad, no te preocupes. Muchas gracias

Dori Estudiante el 18 de marzo de 2018.
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