Topología con conjunto definido con coordenas polares
¿Qué tal?
Estoy estudiando Cálculo II, con un problema de esos de analizar si un conjunto es abierto, cerrado, etc… pero resulta que el conjunto lo definen en polares y no consigo imaginármelo.
Lo definen así:
A={ (r,θ) | r = 1 + e-θ , 0 ∈ ( 0 , +∞ ) }
¿Cómo se dibuja? Tengo que estudiar si es abierto, cerrado, acotado, compacto, arco-conexo.
Gracias
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Solución
Hola, yo te ayudo.
El conjunto A={ (r,θ) | r = 1 + e-θ , 0 ∈ ( 0 , +∞ ) } es una curva definida en polares.
Si vas dando valores al ángulo puedes ver que cuando el ángulo es 0 tendrías que r=2 así que la curva empezaría en el punto (2,0) (aunque este punto realmente no pertenece a la curva por que el intervalo de valores del ángulo es abierto.
A partir de ahí, a media que el ángulo gira (se va haciendo grande) hay que tener en cuenta que la exponencial e-θ irá tomando valores más pequeños (porque es decreciente). Por ejemplo, de 0 a π/2 al curva tiene este aspecto
si seguimos girando hasta 2π la r se va haciendo cada vez más pequeña:
Si seguimos dando valores más grandes al ángulo empezaremos a dar vueltas y más vueltas y la e-θ tomando valores cada vez más pequeños. Si θ → ∞ entonces e-θ → 0 y por lo tanto r → 1+0=1.
Éste es el aspecto de la curva tras dar 30 vueltas. Está claro que tiende a una circunferencia de radio 1 centrada en el origen:
Aclarado el tema del dibujo, intenta tú resolver el problema topológico y si tienes dudas escribres otra pregunta.
Saludos
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