Transformada de Fourier de una exponencial compleja

Cuanto tiempo sin pasar por aquí. He vuelto porque tengo un problema que no consigo resolver.

Si me piden calcular la transformada de Fourier de e-i2πt , sé que la puedo calcular utilizando la propiedad de desplazamiento en frecuencia, partiendo de la transformada de un 1, que es una δ(f), es decir, que daría δ(f-1).

El problema lo encuentro al calcular la transformada por definición. Si lo hago por definición queda una exponencial compleja a la que hay que sustituirle un +∞ y un -∞ y ahí me pierdo. Mi sensación es que el resultado es infinito !!!!  No sé cómo se llega a la misma conclusión que con las propiedades. Si la integral da infinito , ¿cómo va a existir la transformada de Fourier?

Gracias

Novato Enviada el 17 de mayo de 2018 a Transformada de Fourier.
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2 Respuesta(s)

¿La has intentado calcular por definición porque te lo pedía algún enunciado o por curiosidad?

Si realmente te lo han pedido en un ejercicio es que estás estudiando una carrera con un nivel muy bueno, porque no es fácil lo que hay que hacer. Si ha sido por curiosidad, entonces quizás no te conviene que te explique cómo se hace.

Contéstame en los comentarios de mi respuesta.

Saludos

Maestro Respuesta escrita el 18 de mayo de 2018.

Hola Lauel. Pues la verdad es que ha sido por curiosidad. Y me ha parecido raro, me produce un poco de inseguridad, comprobar que calcular por definición la transformada de Fourier de una función tan sencilla cause esos problemas matemáticos. Da mal rollo. ¿Tan difícil es? ¡Venga! ¡Explícanoslo! Seguro que le servirá a muchísimos más estudiantes.

Marta Novato el 19 de mayo de 2018.

Hola. No es que sea muuuuuy difícil, pero tampoco es evidente y requiere conocer la definición de Delta de Dirac como el límite de una sinc(x). Te lo resuelvo en otra respuesta.

Lauel : ) Maestro el 22 de mayo de 2018.
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Solución

Hola

La tranformada de Fourier de un 1 se puede calcular por definición de esta forma

RE: Transformada de Fourier de una exponencial compleja

La sinc(x) es una función con esta definición y gráfica

RE: Transformada de Fourier de una exponencial compleja

así que le tenemos que calcular el límite cuando N→+∞ a

RE: Transformada de Fourier de una exponencial compleja

de tal forma que la altura de la sincx tiende a +∞ al mismo tiempo que el intervalo que hay entre los dos primeros puntos de corte ( 1/2N  y  -1/2N ) se va haciendo cada vez más estrecho. Y no sólo eso, sino que la altura de todas las “montañitas” de la sincx a lo largo de su dominio también van disminuyendo. El resultado es lo que llamamos una Delta de Dirac:

RE: Transformada de Fourier de una exponencial compleja

La definición de Delta de Dirac se puede dar de varias formas, y esta es precisamente una de ellas, la entendemos como un paso al límite de una sinc(x) como la que ha salido al resolver la integral.

Te he calculado la transformada de Fourier de un 1. Para la transformada de Fourier de una exponencial compleja se hace exactamente igual con la diferencia de que la delta te quedará desplazada.

Saludos

 



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 22 de mayo de 2018.

Madre mía. Pues sí que era difícil !!! Si no metes a la sincx esa por medio la sensación es que el límite no existe.

Gracias !!!

Marta Novato el 22 de mayo de 2018.
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