Trasnformación Lineal dado su núcleo y que cumpla que su imagen esté contenida en el núcleo

  Resuelta

Buenas, como podría saber si existe una transformación lineal tal que dado el núcleo, la imagen de ésta esté incluida en su núcleo. Dejo captura de la pregunta (es un verdadero o falso):

Imagen

Gracias.

Estudiante Enviada el 26 de enero de 2018 a Aplicaciones Lineales.
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1 Respuesta(s)

Solución

Hola Mathias

A ver si puedo ayudarte. El problema es muy interesante.

El núcleo está formado por los polinomios de grado ≤ 4 que son impares, es decir, polinomios de la forma ax+bx3 . Se trata por lo tanto de un subespacio de dimensión 2 con base por ejemplo {x,x3}.

Por otro lado dicen que Im(T) ⊆ N (T) y por lo tanto la dim Im (T) debe ser ≤ 2.

Pero eso contradice la fórmula que relaciona las dimensiones de núcleo e imagen ya que sabemos que

dim (Espacio de salida) = dim KerT +  dim Im T

dim ( P4 ) = dim Ker T + dim Im T

5 = 2 + dim ImT

Como ves, la dim ImT debería ser 3, pero si nos dicen que Im(T) ⊆ N (T), y por lo tanto dim Im (T) ≤ 2, me temo que eso es imposible.

Conclusión: no existe ninguna transformación lineal que sea capaz de cumplir las exigencias del enunciado.

Espero que se haya entendido.

Ciao !



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 27 de enero de 2018.

¡Gracias!  Me ha sido de mucha  ayuda 🙂

Mathias Estudiante el 28 de enero de 2018.
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